3.2 条件概率与随机变量的独立性一、条件分布的概念在第一章中，曾介绍了条件概率的概念，那是对随机事件而说的。本节要从事件的条件概率引入随机变量的条件概率分布的概念。引例 考虑某大学的全体学生，从中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布。现在若限制1.71/2 的条件下的条件分布函数。解因为X在0,1上服从均匀分布，其分布函数为由于X在0,1上服从均匀分布，故当 时，当 时，由条件分布函数的定义，有从而二、 随机变量的独立性设A是随机变量Y所生成的事件: A=Yy，且则有一般地, 由于随机变量X，Y之间存在相互联系,因而一个随 机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性。 在何种情况下, 随机变量X，Y之间没有上述影响, 而具有所谓的 “独立性”, 我们引入如下定义。定义1 设随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y), 边缘 分布函数为FX(x)，FY(y), 若对任意实数x，y,有即则称随机变量X和Y相互独立。注：若随机变 量X和Y相互独 立，则联合分 布由边缘分布 惟一确定。定理1 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任 何事件与Y生成的任何事件独立, 即, 对任意实数集A, B,有定理2 如果随机变量X与Y相互独立, 则对任意函数 ，均有 和 相互独立。 证令对任意x，y，记则由定理1，有从而，由定义知 和 相互独立。关于两个随 机变量的独 立性的概念 可以推广到 n个随机变 量的情形三、离散型随机变量的条件分布与独立性设(X，Y)是二维离散型随机变量，其概率分布为由条件概率公式，当 时，有称其为在 的条件下随机变量X的条件概率分布。类似地，定义在 的条件下随机变量Y的条件概率函数：条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质。定义2 若对(X，Y)的据有可能取值(xi，yj)，有即则称X和Y相互独立。例2 设X和Y的联合分布律为-1 0 20.1 0.2 00.3 0.05 0.10.15 0 0.1012(1)求Y=0时，X的条件概率分布；(2)判断X与是否相互独立？解(1)在Y=0时，X的条件概率分布为-1 0 20.1 0.2 00.3 0.05 0.10.15 0 0.1012即X 0 1 2PX=xi|Y=0 0.8 0.2 0同理故X=0时，Y的条件概率分布为(2) 因为所以X与Y不相互独立。而 ，可见即Y -1 0 2PY=yi|X=0 1/3 2/3 0例3 设随机变量X与Y相互独立, 下表列出了二维随机变 量联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. 解由于又因为X与Y相互独立，有又设则由独立性，有解得或于是四、连续型随机变量的条件密度与独立性设(X，Y)是二维离散型随机变量，由于对任意的x，y所以不能直接用条件概率公式引入“条件分布函数”。定义3 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)， 边缘密度为fX(x)，fY(y)，则对一切使fX(x)0的x，定义在X=x的 条件下Y的条件概率密度为类似地，对一切使fY(y)0的y，定义在Y=y的条件下X的条件 概率密度为关于定义内涵的解释：以 为例也就是说，对很小的dx和dy，fX|Y(x|y)表示已知Y取值于y和 y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率。运用条件概率密度，可以在已知某一随机变量值的条件下， 定义与另一随机变量有关的事件的条件概率。即若(X，Y)是连续 型随机变量，则对任一集合A，特别地，取A=(-，+)，定义在已知Y=y的条件下X的条件分 布函数为二维连续型随机变量的独立性定义4 设(X，Y)为二维连续型随机变量， f(x，y)为其联合概率密度， fX(x) ，fY(y)分别为X与Y的边缘密度， 若任意的x，y，有几乎处处成立，则称X，Y相互独立。注：“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集 合外，处处成立。例4 设(X，Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解当x0时，所以同样，有当x0时，而对一切x，y均有故X与Y相互独立。例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的 时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达, 而且到达 时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少?解 设X为甲到达时刻, Y为乙到达时刻, 以12时为起点, 以 分为单位, 依题意,即有 由X，Y独立性知先到的人等待另一人到达的时间不超过5 分钟的概率为，甲先到的概率为例6 设(1)求 和(2)证明X与Y相互独立的充要条件是解故在Y=y的条件下，X服从正态分布：对称地，在X=x的条件下，Y服从正态分布：(2)比较 与 和 的密度函数 ：f(x,y)，fX(x)，fY(y) 可知，当且仅当 时， 即，当且仅当 时，X与Y 相互独立。例7 设随机变量(X，Y)的概率密度为(2)求在Y=y的条件下，X的条件概率密度。(1)求X与Y的边缘概率密度，并判断X与Y相互独立 。解(1)由 当x0时，当x0时，所以类似得(2)求在Y=y的条件下，X的条件概率密度。由(1)知，当y0时，fY(y)0的条件下，所以在Y=y的条件下，X的条件 概率密度为3.3 二维随机变量函数的分布在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机 变量的函数。 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和 Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已 知Z与X，Y的函数关系式现希望通过(X，Y)的分布来确定Z的分布。此类问题就是我们 将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.本节我们重点讨论两种特殊的函数(1) Z=X+Y(2) Z=max(X,Y)和Z=min(X,Y)，其中X和Y相互独立。注：应该指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广 到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算繁杂程度提高 ，并没有本质性的差异。一、离散型随机向量的函数分布设(X，Y)是二维随机向量，g(x,y)是二元函数，则g(X,Y)作 为(X，Y)的函数是一个随机变量。如果(X，Y)的概率分布为：设Z=g(X,Y)的据有可能取值为zk,k=1,2, ,则Z的概率分布为例如，若X，Y相互独立，且则Z=X+Y的概率分布为即这个公式称为离散型卷积公式例1 设随机向量(X，Y)的概率分布如下表-1 0 1 20.2 0.15 0.1 0.30.1 0 0.1 0.05-12求随机向量(X，Y)的函数Z的分布。(1) Z=X+Y(2) Z=XY解由(X，Y)的概率分布可得0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 0.1 0.05 (-1，-1) (-1，0) (-1,1) (-1,2) (2，-1) (2,0) (2,1) (2,2) -2 -1 0 1 1 2 3 4 1 0 -1 -2 -2 0 2 4 0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 0.1 0.05 (-1，-1) (-1，0) (-1,1) (-1,2) (2，-1) (2,0) (2,1) (2,2) -2 -1 0 1 1 2 3 4 1 0 -1 -2 -2 0 2 4 与一元离散型随机变量函数的分布的求法相同，把Z值相 同项对应的概率值合并得0.2 0.15 0.1 0.4 0 0.1 0.05 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 40.4 0.1 0.15 0.2 0.1 0.05 (1) Z=X+Y的概率分布为(2) Z=XY的概率分布为例2 若X和Y相互独立, 它们分别服从参数为 ， 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 的泊松分布 解依题意由离散型卷积公式即Z=X+Y服从参数为 的泊松分布 二、连续型随机向量的函数分布设(X，Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x，y)，令 g(x，y)为一个二元函数，则g(X，Y)j (X，Y)的函数。求Z=g(X，Y)分布的一般方法：(1) 求分布函数FZ(z)，其中DZ=(x，y)|g(x，y) z(2) 求其概率密度fZ(z)，对几乎据有的z，有在求随机向量(X，Y)的函数g(X，Y) 的分布时，关键是设 法将其转化为(X，Y)在一定范围内取值的形式， 从而利用已知 (X，Y)的分布求出Z=g(X，Y) 的分布。例3 设随机变量X与Y相互独立, 且同服从0，1上的均匀分布, 试求 的分布函数与密度函数.解依题意，先如右的草图，先求FZ(z)当z0时，因为|X-Y|0，所以当00，则z-x0时，若x0，则fX(x)=0；若z-x0，即zx，则 fY(z-x)=0,故 因此，当 0xz时，综合得2. 及 的分布设随机变量X，Y相互独立，其分布函数分别为 和由于 不大于z等价于X和Y都大于z，故有类似地，可得 的分布函数为关于M=maxX，Y和N=minX，Y分布的结论可以推广到 n个相互独