第三章 气体分子热运动速率和能量分布3.1气体分子的速率分布律3.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布3.3珀尔兹曼分布率 重力场中微粒按高度的分 布3.4能量按自由度均分定理第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不 能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强 和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认 识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了 分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率 大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况 是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概 率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0到，这个 取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概 率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数 量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规 律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以 理想气体为基础来开展讨论。 31 麦克斯韦气体速率分布律对于由大 量分子组成的 热力学系统从 微观上加以研 究时，必须用 统计的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .小球在伽 尔顿板中的分 布规律 .统计规律 当小球数 N 足够大时小球的分布具有 统计规律. 设 为第 格中的粒子数 .概率 粒子在第 格中 出现的可能性大小 .归一化条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 粒子总数引言： 气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分 子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分 子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大 量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律气体速率分布律。气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学 中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率 分布的统计规律。麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879)19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。1873年，他的电磁学通论问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 自然哲学的数学原理并驾齐驱，它是 人类探索电磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，他还提出气体分子 按速率分布的统计规律。统计规律性分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分 子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动 （在动力学支配下）是无规则的，存在着极大 的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律 性。（例：理想气体压强）人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为 的规律性称为统计规律性速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的 概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1。由于分子受 到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子 具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔 内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-1 ，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200 ms- 1和500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比 如，速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小 ，而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然 要问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的， 这个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分 布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。 1、气体分子的速率分布律l速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间 vv+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数占 总分子数的比率。 实验规律： 在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值dN/N是 不同的。容易想见，速率间隔越大， dN/N？ dN/N 是 v 的函数； 当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与 区间大小成正比。1、速率分布函数为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 ，这样，比 值 就反映出了随速率v的改变而改变。为此我们规定 ；速率分布函数定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的 单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是 速率v的函数，称为速率分布函数。理解分布函数的几个要点：1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的 ；2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。l物理意义： 速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数 的概率，或概率密度。表示速率分布在vv+dv内的 分子数占总分子数的概率表示速率分布在v1v2内的分 子数占总分子数的概率归一化条件应注意的问题:分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：1）少数分子谈不上概率分布偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才 更加接近相等，否者将有很大差异。2）统计规律表现出涨落所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差，统计规律必然伴随着涨 落。例如，在某一速率v附近dv间隔内求出的比值dN/N是0.06， 表示有6%的分子，它们的速率取值分布在（v，v+dv）内，但并 不是说，每时每刻就一定是0.06，也有可能是0.05998，0.0601 ，等等，但长时间的平均值仍是0.06。 3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说法f (v)是针对v附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子 数有多少就没有意义了。 4）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现 的。因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布的 决定因素。课堂练习1速率分布函数 的物理意义为：（）具有速率 的分子占总分子数的百分比（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子 数占总分子数的百分比（）具有速率 的分子数（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子 数 （） 练习2、下列各式的物理意义分别为:(1)(2)(3)(4)速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比速率在v-v+dv内的分子数速率在v1v2内的分子数占总分子数的百分比速率在v1v2内的分子数练习3在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯 韦速率分布函数为 、分子质量为 、最可几速 率为 ，试说明下列各式的物理意义：（） 表示_； （） 表示_ 分子平动动能的平均值 分布在速率区间 的分子数在总分子数中占 的百分率 练习4已知分子总数为 ，它们的速率分布函数 为 ，则速率分布在区间 内的分子的 平均速率为 （A） （C） （B） （D） （B） 2.麦克斯韦速度分布律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 忽略时，分布在速度区间 的分子 数占总分子数的比率为麦克斯韦速度分布律3.麦克斯韦速率分布律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 忽略时，分布在速度区间 也就是 分布在vxvx+dvx/vyvy+dvy/vzvz+dvz的分子数占总 分子数的比率为:这个区间内的分子，它们的 速度矢量的端点都在一定的 体积元ddvxdvydvz内也就是满足这个条件的速度 矢量的端点都落在半径为v ，厚度为dv的球壳层内。这 个球壳层的体积等于其内壁 的面积4v2乘以厚度dv ：d 4v2dv将ddvxdvydvz代入麦克斯韦 速率分布 分布律麦克斯韦速率分布律 且：得 ： 得记忆这个公式分三部分：第一部分，4pv2dv是“球壳”的体积，而“球壳”全方位的高 度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；第二部分 ,正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个 指数衰减律的结果没有单位，mv2/2是分子热运动的动能，kT 既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能 与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速 度比v2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数值 必然较小。第三部分，是归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没 有单位，4pv2dv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值 ，也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。即应该具有速度的量纲，的确如此，正是一个具有统计 特性的速率，后面知道，叫最可几速率。 麦克斯韦 速率分布函数m分子的质量 T热力学温度 k玻耳兹曼常量vPv v+dvv面积= dN/Nf(v)f(vP)曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于 分布在此速率区间 内的分子数占总分 子数的概率dN/N 。.麦克斯韦速率分布曲线在f(v)v整个曲线下的面积为 1 - 归一 化条件。最概然速率 平均速率 方均根速率 分子速率的三个统计值 最概然速率(the most probable speed) 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等 的小区间，则分布在 vP所在区间的分子数比 率最大。令解得vp 随 T 升高而增大，随 m 增大而减小注：定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最 概然速率。同一气体，不同温度vP与温度T的关系:T 1T 2曲线的峰值右移,由于 曲线下面积为1不变， 所以峰值降低。不同气体，同一温度vP与分子质量m的关系:曲线的峰值左移,由 于曲线下面积为1不 变，所以峰值升高 。m 2m 1练习5.图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率 分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（ 2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢 气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应 的是氢气？解：(1) T1 v0 的分子数为 ( 2N/3 )同理 v v 0)0 ( v vo )1、作速率分布曲线。2、由N和vo求常数C。3、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。Cvovo解：二、验证麦克斯韦速度分布律 1、实验装置O蒸汽源 S 分子束射出方向孔 R 长为 l 、刻有螺旋形细槽 的铝钢滚筒 D 检测器，测定通过细槽的 分子射线强度2、实验原理当圆盘以角速度转动时 ，每转动一周，分子射 线通过圆盘一次，由于 分子的速率不一样，分 子通过圆盘的时间不一 样，只有速率满足