第二节 复数域数学模型 传递函数第二章 控制系统的数学模型建立系统微分方程的目的是什么？如何求解得到的微分方程式？对于高阶线性微分方程如何求解？使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？思考？在求解方法上：计算简单 (把微积分运 算变换成代数运算或查表) ，容易求出系统 对输入的响应。引入传递函数的概念(复数域数学模型) ，把系统的动态性能和传函的零极点联系起 来，使在复数域内(根轨迹法)和频域内(频 率法)分析和设计系统成为可能。优势：项 目内 容教 学 目 的从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。教 学 重 点熟悉传递函数的各种一般表达形式。教 学 难 点传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思 维方法。对典型环节传递函数的理解。讲授技巧及注 意事项注重微分方程同传递函数的对比。2-2 复数域数学模型传递函数本节课的学习思路：从多个方 位来观察我们将要研究的对象传 递函数，为下一步深入细致的讨论( 第四章和第五章)做准备。本节内容v拉式变换v传递函数的概念和表达形式v系统传递函数的建立v典型环节的传递函数v拉式反变换 1.定义：设函数 f(t)当 时有定义，设且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。简称拉氏变换。f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：原函 数象函数2-2 传递函数一 拉氏变换(2)例2 求阶跃函数 的拉氏变换变换 。(1)例1 求单单位脉冲函数 的拉氏变换变换 。单位阶跃函数 的拉氏变换变换 为 。 2.常用函数的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)1tv3.几个重要的拉氏变换（掌握）(1)线性性质(2)积分性质(3)微分性质4.拉氏变换的基本性质(4)终值定理(5)初值定理(6)时间比例尺(相似)定理a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 迟 ，则其象函数应乘以 。b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， 原函数应乘以 。即(7)位移定理1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 氏反变换。记为 。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部 。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。 二 拉氏反变换若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。展开的常用方法有：u配方法u比较系数法u留数法例1：求 的拉氏反变换。例2：求 的拉氏反变换。u配方法解：解：u比较系数法u留数法F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和：numernationdenominato r（1）D(s) =0没有重根其中：所以：所以：(2)D(s)=0包含r重根其中：由于：所以：例5 求 的拉氏反变换。其中：所以：所以：解：设用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤 对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变 量的代数方程，方程中的初始值应取系统在 t=0时刻的对应值； 求出系统输出变量的表达式； 将输出变量的表达式展开成部分分式； 对部分分式进行反变换，即得微分方程 的解。例6.已知系统的微分方程式为：并且设： ，试求微分方程的解。解：方程两边进行拉氏变换代入初始值变换形式可得设其中：所以：两端进行拉氏反变换，得如果使用比较系数法：通分后令比较系数得同样求出两端进行拉氏反变换，得线性定常系统微分方程的一般形式为 ：1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变 换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。三 传递函数的概念和表达形式c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则在零初 始条件下，对上式两边取拉氏变换，由微分性质得 到系统传递函数为：标准形式、有理分式形式 或多项式形式在零初始条件下求系统或环节的传递函数，只需要将微分方程中变量的各阶导数用s的相应幂次代替就行了，因此从微分方程 式求传递函数非常容易。经过变换后，我们 把一个复杂的微分方程式变换成了一个简单 的代数方程。为系统增益（放大系数）返回尾1形式因式分解时间常数形式典型环节形式各项提取an各项提取bmu传递函数的第二种表达形式为根轨迹增益首1形式因式分解零极点增益形式根轨迹形式各项提取a0各项提取b0u传递函数的第三种表达形式稳态增益K和根轨迹增益K*的定义及关系：这两个参数是重要的调试参数。称为系统的特征多项式，S的最高阶次n即为系统的阶次。D(s)=0称为系统的特征方程。分母传递函数的三大表达形式：传递函数的零极点分布图传函的零极点分布图2.传递函数的性质 （1）对应性：传递函数与微分方程一一对应。 如果将 置换，传递函数 微分方程（2）固有性：传递函数表征了系统本身的动态 特性。传递函数只取决于系统本身的结构参数，而 与输入等外部因素无关，可见传递函数有效地描述 了系统的固有特性。（3）局限性：只反映零初始条件下输入信号引 起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。（4）唯一性。（5）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响 应，反之，系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的 传递函数，两者有一一对应的关系。（6）同形性：G(s)虽描述了输出输入间的关系， 但它不提供任何该系统的物理结构。物理性质截然 不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。 （7）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。（8）有理性：传递函数为有理真分式函数。即m 小于等于n。静一静，想一想：1. 我们已经前进一步了，我们将一般形 式的微分方程变换成了传递函数，并且有了许 多表达形式；2.我们把研究对象的微积分运算形式变成 了代数运算形式，简化了运算，降低了工作的 难度；3.更大的收获是在传递函数代数和几何形 式下，想象力增强了。我们可以对系统采取更 多的方法进行分析和研究了。四 传递函数的建立方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法：（1）列写元件或系统的微分方程；（2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；（3）取输出与输入的拉氏变换之比。例1 对RC无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：已求得网络的微分方程形式 为两边进行拉氏变换，可得取输出与输入的拉氏变换之比例2 对无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：已求得网络的微分方程形式为两边进行拉氏变换，可得取输出与输入的拉氏变换之比例3 一个由弹簧、质 量、阻尼器组成的做直线 运动的力学系统。图中，m 为物体的质量，k为弹簧系 数，f为粘性摩擦系数，F(t) 为物体受到的外作用力， y(t)为物体的位移。试求传 递函数Y(s)/F(s)。f解：已求得系统的微分方程形式为两边进行拉氏变换，可得取输出与输入的拉氏变换之比方法2：利用系统的单位脉冲响应求系统的传 递函数。 （1）测量系统在零初始条件下的单位脉冲响应； （2）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。证明：由由所以又因为所以C(s):系统单位脉冲响应复数域形式 c(t): 系统单位脉冲响应时域形式例4 测得某系统在零初始条件下脉冲输入 作用时的输出响应为求系统的传递函数。解:对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数 (重要)v运算(复)阻抗 电阻电容电感例5 对无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：把图中各量用复阻抗表示根据分压定理写出Uo(s)表达式化简得传函表达式复阻抗+分压定理例6 对无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：复阻抗+分压定理根据分压定理写出Uo(s)表达式化简得传函表达式1.比例(放大)环节 特点：输出与输入成正比，无失真和时间延迟。五.典型环节及其传递函数uc2.惯性环节特点：含一个储能元件，对突变的输入不能立即跟 随，输出无振荡。0.633.微分(超前)环节特点：能预示输入信号的变化趋势。 实例：测速发电机输出电压与输入角度间的关系。 r(t)由于 在实际工程中不存在，所以纯微分环节不 能单独存在，只是理想微分环节。若输入一阶跃信号，则可求出实际微分环节为(带有惯性环节)实际微分环节实现电路4.积分环节特点：输入消失后输出仍具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的关系，物体行驶距离 与物体速度间的关系，模拟计算机中的积分器等。5.振荡环节特点：环节中有两个独立储能元件，并可进行能量交 换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路、两级RC电路、弹簧-物体-阻尼器力学 位移系统等。6.一阶微分环节和二阶微分环节一阶微分环节、二阶微分环节和纯微分环节都 称为理论微分环节，不满足 的条件，所以在实 际工程中不会单独存在。7.延迟环节特点：准确复现输入量，但延迟了一个固定的时间 间隔。 实例：液压、气动等压力在容器内或热量在管道中 的传播有延迟时间；胶带输送机等机械传动系统、 晶闸管（可控硅）整流器等的控制问题的数学模型 就含有延迟环节；计算机控制系统中，由于运算需 要时间，也会出现延迟。传函典型环节表达式本节应该掌握：1.传递函数的概念和表达形式2.系统传递函数的建立3.典型环节的传递函数小 结作业： 2-32-42-92-10