一、多元正态分布参数估计1. 样本多元分析的任务根据样本数据来分析各变量之间的关系， 推断总体的性质。多元样本数据为一元样本2. 样本平均值样本平均值是n个 点的重心例题：计算均值、离差阵、协 方差和相关阵3. 样本离差(平方乘积和)矩阵S 计算离差阵(样本协方差) (样本方差)4. 样本协差阵6. 样本相关矩阵RR为非负定矩阵-样本相关系数变量的线性组合的样本值计算 和 均值方差与协方差7. 二组样本的协方差矩阵8. 总体均值和协方差矩阵的最大似然估计设用最大似然法求出的均值和协方差的估计量分别为9.基本性质1）是总体均值的无偏估计2）是总体协方差的无偏估计分别是总体均值和协差阵的有效估计是总体均值和协差阵的一致估计估计3）4）和和和10. 定理 设和 S 分别是正态总体样本均值和离差阵，则和 S 相互独立1）2）3）二、多元统计中常用的分布在一元统计中，常用的分布有卡方分布、t分 布和F分布。在多元统计中，他们分别发展为 Wishart分布、T2分布和Wilks分布。 11 分布和Wishart分布 定义1 设 为 相互独立且同 服从于 分布的随机变量。则 (1)所服从的分布叫做 分布， 称为自由度且记为 。 定理2. 由(1)式定义的随机变量的分布密 度函数为 定理3. 设 ，且 与 相互独立，则 推论2 设 是抽自正态总 体 的简单随机样本，则统计 量Wishart分布 它是多元样本离差平方和矩阵的分布 定义1 设 为 相互独立且同服从 于 分布 ，令 则(1)所服从的分布叫做 自由度为 的p维 维希特 分布，记作显然，当p=1 时，有Wishart分布像卡方分布一样具有加法性质 ，若相互独立，则设 ，且 与 相互独立，则称随机变量服从自由度为 的 分布，记为 。 将T平方，即三 分布与 分布在多元统计中 分布是一元统计中t 分布的推广定义：若 ， S与X相互独立、称随机变量是自由度为（p，n）的 分布可以转化为F分布Hotelling 四、 分布与Wilks分布定义3 设 ， ， 且 与 相互独立，则称随机变量服从自由度为 的 分布， 记为 。F分布事实上为从正态总体随 机抽取的两个样本方差的比， 在方差分析和回归分析中广泛 使用描述 的变异程度的统计参数称 为广义方差，其定义有很多 如F统计量的推广是 统计量 定义：若相互独立，则称随机变量的分布是自由度为(p,n1,n2)的 分布第三章 假设检验 1、 已知时单总体均值向量的检验设从总体XNP(,)中随机抽取了一个容量为n的样本 ，得到的无偏估计为 检验 是否等于已知向量 。即，由于由正态分布与卡方 分布的关系得构造检验统计量为具体步骤是： 作统计假设 计算样本的均值 计算统计量T的具体值T0 按规定的小概率标准，查卡方分布表Ta，得临 界值，并作出判断 当T0 Ta ，接受H0，拒绝H1，即认为 与 没 有显著差异。 当T0 Ta ，接受H1 ，拒绝H0 ，即认为 与 有显著差异。2、未知时均值向量的检验在一元统计理论中，当方差未知时，取检验 统计量为推广到多元，考虑统计量其中样本均值样本离差阵 故由T2分布定义知其中利用T2与F分布的关系，检验统计量取为具体步骤是：作统计假设：，计算样本均值和样本协方差由公式计算F统计量具体值F0。按规定的显著水平，查F分布临界值，并 作出判断：当 接受H0，拒绝H1；当 拒绝H0，接受H1。例1 某小麦良种的四个主要经济性状的理论值为现在从外地引入一新品种，在21个小区种值，取得数据如表： 小区号 性 状1234567X122.8822.7422.6022.9322.7422.5322.67X232.8132.5632.7632.9532.7432.5332.58X351.5151.4951.5051.1751.4551.3651.44X461.5361.3961.2260.9161.5661.2261.30小区号 性 状891011121314X122.7422.6222.6722.8222.6722.8122.67X232.6732.5732.6732.8032.6732.6732.67X351.4451.2351.6451.3251.2151.4351.43X460.3061.3961.5060.9761.4961.1561.15小区号 性 状15161718192021X122.8123.0223.0223.1522.8823.1623.13X233.0233.0532.9533.1533.0632.7832.95X351.7051.4851.5551.5851.4551.4831.38X461.4961.4461.6261.6561.5461.4161.58设新品种的四个性状服从正态，试检验假设 3查F表，得F0.05(4,17) = 2.96，因为 故拒绝H。3、两总体协差阵相等（但未知）时 均值向量的检验当P = 1时，因 且相互独立，在H0成立条件下，有，推广到P元总体，可以得到形式类似的统计量T2：XNP(1,) YNP(2,) 其中具体步骤：作统计假设：，计算样本均值和，样本离差阵。由公式计算统计量具体值F。按规定的显著水平，查F分布临界值当 接受H0，拒绝H1；当 拒绝H0，接受H1。4、 已知时，均值的置信域从一元统计中我们已经了解到，均值假设检验问 题本质上也等价于均值的置信区间 假设 来自P元正态总体NP(,)由 前面讨论知在任给置信度，查卡方 分布临界值表得满足则均值向量的置信度为的置信域为该置信域是一个中心在椭球。当检验时，若落在该置信域内，即，则在显著水平下，接受H0；若没有落入该置信域内，则否定H0。所以在多元统计中， 也可以说均值向量的假设检验问题本质上也等价于求 均值向量的置信域。则均值向量的置信域为该置信域是一个中心在置信域椭球的半轴长分别为其中。5、 未知时，均值的置信域的椭球。