第六章 蒙特卡罗方法在通量计算中的 应用l 通量的定义 l 通量的能谱和角分布 l 计算体通量的模拟方法 l 计算面通量的模拟方法 l 计算点通量的模拟方法 l 与通量有关的物理量的计算作 业Date蒙特卡罗方法第六章 蒙特卡罗方法在通量计算中的 应用通量计算在粒子输运问题中占有非常重要 的地位。很多问题，如碰撞率、反应率以及系 统逃脱几率等都可以通过通量来计算。通量计 算问题，包括点通量、面通量和体通量的计算 问题。相对来说，点通量的计算要困难一些。Date蒙特卡罗方法1.通量的定义设 分别表示粒子的位置、能量和运 动方向。则通量 的定义为：在 r 点的体积元 dV 内，能量 E 和运动方向属于dE d的 粒子平均径迹长度。Date蒙特卡罗方法1)点通量的定义给定点 r0 的点通量为：点通量的含义为：在r0点的体积元dV内，粒子的平均 径迹长度。Date蒙特卡罗方法2)面通量的定义给定曲面 A0 上的面通量为：面通量的含义为：沿曲面A0的法线方向增加厚度ds 所组成的体积元的体积元A0ds中， 粒子的平均径迹长度。Date蒙特卡罗方法3)体通量的定义给定体 V0 内的体通量为：体通量的含义为：在体V0内，粒子的平均径迹长度 。Date蒙特卡罗方法4)粒子各次散射对通量的贡献通量 可用粒子各次散射对通量的贡献和 表示：其中 为粒子 n 次散射后对通量的贡献， 其含义为：粒子在第 n 次散射到第 n1 次散 射之间，在 r 点的体积元 dV 内， 能量E 和运动方向属于dE d的 粒子平均径迹长度。Date蒙特卡罗方法2.通量的能谱与角分布用蒙特卡罗方法计算通量的能谱与 角分布，所采用的手段与计算其它物理 量一样，即把能量和方向分成若干个区 间，分别按粒子状态所处的区间累积记 录各自的贡献。Date蒙特卡罗方法现将能量分成 I 区：E1，E2，EI；方向分 成 J 区：1，2，I。则有：Date蒙特卡罗方法3.计算体通量的模拟方法在实际问题中，经常遇到要计算某一区域 V0 的体通量。在通量的定义部分已经介绍过，通量可以 表示为粒子各次散射对通量的贡献和。因此， 下面要介绍的各种估计方法，只叙述各次散射 后的通量计算方法。计算体通量的方法主要有以下几种。Date蒙特卡罗方法1)解析(统计)估计方法粒子 n 次散射（n0 时为源粒子）后的通量贡献 为：其中，s1和s2分别为粒子由点rn出发，沿n方向到达 区 域V0的近端和远端的交点的距离。如果点rn在V0内 ， 则 s10。如果粒子沿n方向与V0有多段相交，则为每段相交线段的通量贡献之和。如果粒子沿 n方向与V0不相交，则 。Date蒙特卡罗方法解析估计方法就是把体通量的贡献表达式直接计 算出来。当系统为均匀介质时，如果只是V0为均匀介质，则如果V0由多层介质组成，则需分段计算积分。在解析估计方法中，粒子每发生一次碰撞（包括 零次散射），都要记录通量的贡献值。Date蒙特卡罗方法2)径迹长度方法设粒子从第 n 次散射到第 n1 次散射之间走过 的径迹长度为 s ，则 n 次散射的通量贡献为：径迹长度方法就是把粒子在V0内走过的径迹长度 记录下来。Date蒙特卡罗方法下面证明，径迹长度估计是无偏的。Date蒙特卡罗方法3)碰撞密度方法设粒子从第 n 次散射到第 n1 次散射之间走过 的径迹长度为 s ，则 n 次散射的通量贡献为：碰撞密度方法就是把粒子在V0内发生的碰撞记录 下来。Date蒙特卡罗方法下面证明，碰撞密度估计是无偏的。Date蒙特卡罗方法4)均匀径迹长度方法确定一个定义在 s1,s2 上的概率密度函数 fn(s)， 从 fn(s)中抽样 s*，则 n 次散射通量贡献的估计为：fn(s)的最简单形式是均匀分布这时Date蒙特卡罗方法5)点通量代替方法设 为在V0上定义的任一概率密度函数，则 体通量可表示为：体通量的估计为：其中，r*为从 中抽取的一个样本值。Date蒙特卡罗方法6)几种方法的比较l 解析估计方法：直接计算体通量的贡献表达式，因此 该方法的方差小，但计算时间长，需要计算指数函数 的积分。 l 径迹长度方法：记录贡献方法简单，可与输运过程同 时进行，只要粒子穿过记录区域就有贡献。但该方法 方差大些，对于较小的系统（如自由程个数小于2） ，该方法较好。 l 碰撞密度方法：由于只在记录区域内发生碰撞才有贡 献，因此方差较大，尤其在记录区域较小时更是如此 。但该方法省时间，适用于大的记录区域。Date蒙特卡罗方法l 均匀径迹长度方法：在记录区域为多层介质时，较解 析估计方法容易实现。但在记录贡献时仍需计算指数 函数，也费时间。 l 点通量代替方法：可以较好地解决小区域的体通量计 算问题。尤其是记录区域与粒子的输运区域分开时， 更是如此。Date蒙特卡罗方法4.计算面通量的模拟方法计算面通量的方法主要有以下几种。Date蒙特卡罗方法1)解析估计方法设经过 n 次散射的粒子，由点rn出发，沿n方向 到达曲面域A0的距离为 s1，与曲面相交处曲面的法线 方向为 n，则 n 次散射粒子对该曲面的通量贡献为：如果粒子沿n方向与A0有多个交点，则 为每个 交点处的通量贡献之和。如果粒子沿n方向与A0没有 交点，则 。解析估计方法就是把面通量的贡献表达式直接计 算出来。粒子每发生一次碰撞（包括零次散射），都 要记录通量的贡献值。Date蒙特卡罗方法2)加权（径迹长度）方法设粒子从第 n 次散射到第 n1 次散射之间走过 的径迹长度为 s ，则 n 次散射的通量贡献为：加权方法只有在粒子穿过曲面A0时，才对该曲面 有通量贡献。Date蒙特卡罗方法3)点通量代替方法设 为在A0上定义的任一概率密度函数，则 面通量可表示为：面通量的估计为：其中，r*为从 中抽取的一个样本值。Date蒙特卡罗方法4)体通量代替方法沿曲面A0的法线方向均匀地增加一个厚度s，由 此构成的体积为 。 的体通量为：A0的面通量为：因此，如取得足够小，有如下近似：Date蒙特卡罗方法5.计算点通量的模拟方法与体通量、面通量的计算相比，点通量的 计算最困难。这是因为，在大量的模拟粒子中 ，只能有很少的粒子穿过该点所包含的一个小 区域，因此无法使用通常的通量计算方法。Date蒙特卡罗方法1)指向概率方法设 n 次散射后粒子的状态为 ， 进入 n 次碰撞的粒子的状态为 ，表示粒子的碰撞核，其定 义为：一个粒子在点 r 发生碰撞后， 能量由E变为E的dE内，方向 由变为的d内的粒子平均 数。Date蒙特卡罗方法则 n 次散射的粒子对点 r* 的通量贡献为：其中当 n0时，用源分布密度函数 代替碰撞 核 。Date蒙特卡罗方法l 光子问题的指向概率方法 光子问题的碰撞核为：其中光子能量E以电子静止能量mec20.511 MeV为单 位；K(EE/r) 为KleinNishina公式，由下式确定N(r) 表示在 r 处单位立方体内的原子数，z (r) 表示在 r 处元素的原子序数，r0表示电子的经典半径。Date蒙特卡罗方法其中Date蒙特卡罗方法l 中子问题的指向概率方法 中子问题的碰撞核为：其中下标A和 i 分别表示不同的原子核和不同的反应；和 分别表示能量为E的中子与第A种 原子核发生第 i 种反应后产生的平均次级中子数和微 观截面；NA(r) 表示在 r 处第A种原子核的核密度；表示能量为E和方向为的中子与 第A种原子核发生第 i 种反应后的能量E和方向的分 布。Date蒙特卡罗方法则有中子的通量贡献为：Date蒙特卡罗方法2)关于估计量无界问题当 r*点附近不含散射物质时（如真空），也就是 说，粒子的输运区域与记录点分开时，指向概率方法 的估计量是有界的，因此是一种比较好的计算点通量 的方法。不含散射物质的区域越大，指向概率方法的 优点越明显。然而，当 r*点附近含有散射物质时，由于在指向 概率方法的估计量中含有无界因子因此，指向概率方法的估计量一般来说是无界的。Date蒙特卡罗方法6.与通量有关的物理量的计算一些物理量可以通过通量来计算。Date蒙特卡罗方法1)系统逃脱概率状态为 的粒子的系统逃脱概率为：系统逃脱概率为：Date蒙特卡罗方法2)各种反应率l 碰撞密度l 裂变中子密度l 吸收率l 反应率Date蒙特卡罗方法 作 业 l Date蒙特卡罗方法