用定义或判定定理 证明线面垂直 【例1】 如图，在四棱锥PABCD中 ，PA底面ABCD，ABAD ，ACCD，ABC60， PAABBC，E是PC的中点证明： (1)CDAE； (2)PD平面ABE； 【证明】(1)在四棱锥PABCD中，因为PA 底面ABCD，CD 平面ABCD，故PACD. 又因为ACCD，PAACA，所以CD平 面PAC. 而AE 平面PAC，所以CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，得ABC 是等边三角形，故ACPA.因为E是PC的中点，所以AEPC. 由(1)知，AECD，且PCCDC， 所以AE平面PCD. 而PD 平面PCD，所以AEPD. 又因为PA底面ABCD，所以PAAB. 由已知得ABAD，且PAADA，所以AB 平面PAD. 又PD 平面PAD，所以ABPD. 因为ABAEA，所以PD平面ABE. 本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证 能力立体几何的证明关键是学会分析和掌握 一些常规的证明方法如：已知中点证明垂直 时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来 ，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系 ；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线 垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到 哪个结论，就必须满足什么条件等 【变式练习1】 如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角 边AC和斜边AB的中点，沿EF将AEF折 起到A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证： (1)EF平面A1EC； (2)AA1平面A1BC. 用线面垂直的性质 定理证明线线垂直 【证明】如图，ACB90， 所以BCAC. 又在直三棱柱ABCA1B1C1 中，CC1平面ABC，所以BCCC1. 而ACCC1C， 所以BC平面AA1C1C， 所以BCAM. 连结A1C. 可以证明RtACMRtAA1C，所以AMA1C. 而A1CBCC，所以AM平面A1BC，所以 A1BAM.证明线线垂直常构造一个平面经过一条直线与另一条直 线垂直，从而达到由线面垂直 证明线线垂直的目的 通过计算证明线 线垂直 【例3】 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BB1的中点， O是底面正方形ABCD的中心 求证：OE平面ACD1. 要证线面垂直可找线线垂直，这是几何中证明线面垂直 时常用的方法，在证明线线垂 直时，要注意从数量关系方面 找垂直，如利用勾股定理等 【变式练习3】 直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD 是直角梯形，BADADC90，AB 2AD2CD2.求证：AC平面 BB1C1C. 1.有下列四个命题： 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面互相垂直； 若两条直线互相垂直，其中一条垂直于一个平面，则另一条直线与该平面平行； 若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行； 若一条直线和一个平面不垂直，则这个平面内不存在与该条直线垂直的直线 其中错误的命题是_. 2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长 为2，M是AD1上任意一点，M到平面 BCB1的距离是_. 23.如图，在正方形SG1G2G3中， E，F分别是G1G2，G2G3的中 点，D是EF的中点，现沿SE， SF及EF把这个正方形折成 一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这 样，下列五个结论：SG平面EFG；SD 平面EFG；GF平面SEF；EF平面GSD； GD平面SEF.其中正确的是_. 5.如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M 、N分别是AB、PC的中点 (1)求证：MNCD； (2)若PDA45， 求证：MN平面PCD. 【证明】(1)连结AC，取其 中点O，连结NO、MO，并 延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点， 所以NO为PAC的中位线，所以NOPA. 而PA平面ABCD，所以NO平面ABCD，所 以NOCD. 又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为 AC的中点，所以MOCD. 而MONOO，所以CD平面MNO，所以 CDMN.(2)连结NR， 则NRMPDA45. 又O为MR的中点， 且NOMR， 所以MNR为等腰三角形且NRM NMR45， 所以MNR90，所以MNNR. 又MNCD，且NRCDR，所以 MN平面PCD. 1在线面垂直的定义中，一定要 弄清楚“任意”与“无数”这两个术语内涵 的差异，后者存在于前者中“任意” 的理解最终转化为“两条相交直线”，证明时此条件不可缺少 3面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即： 两个平面垂直； 其中一个平面内的直线； 垂直于交线所以无论何时见到已知两个平面垂直，都要首先找其交线，看是否 存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助 线，这样就能目标明确，事半功倍