复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础3.1 应力应变关系 右手螺旋法则下的直角坐标系通常用(x, y, z)和(x1, x2, x3)表示：3.1.1. 3.1.1. 符号记法符号记法 zx1x2x3xy如果他们表示同一个坐标系，通常总是有x=x1, y=x2, z=x3。1121333222311213x123x2x3一点的应力是一个张量一点的应力是一个张量( (矩阵矩阵) )，其分量用，其分量用 ij ij表示表示: :i i 代表该应力作用平面的外法线沿代表该应力作用平面的外法线沿x xi i方向；方向；j j 代表该应力指向代表该应力指向x xj j方向。方向。 i i T T= = 1 1, , 2 2, , 3 3, , 4 4, , 5 5, , 6 6= 1111, , 2222, , 3333, , 2323, , 1313, , 1212. (3.1). (3.1)一点的应力张量（矩阵）总一点的应力张量（矩阵）总 是对称的，即是对称的，即 ji ji= = ij ij 复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础这样，就只有这样，就只有6 6个应力分量个应力分量 是独立的，可以缩减成一个是独立的，可以缩减成一个 应力矢量应力矢量 i i : : 再令再令u u1 1、u u2 2、u u3 3代表一点分别沿代表一点分别沿x x1 1- -、x x2 2- -、x x3 3- -方向的位方向的位 移分量，那么，移分量，那么， i,j=1,2,3 (3.2) i i T T= 1 1, , 2 2, , 3 3, , 4 4, , 5 5, , 6 6= 1111, , 2222, , 3333, ,2 2 2323, ,2 2 1313, ,2 2 1212. (3.3) . (3.3) 联系应力与应变之间关系的联系应力与应变之间关系的HookeHooke定律定律 : : i i=S Sij ij j j 或或 i i=K Kij ij j j (3.4) (3.4) S Sij ij = =柔度矩阵柔度矩阵, , K Kij ij = =刚度矩阵刚度矩阵 ( ( K Kij ij=S=Sij ij -1-1) )复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础就就代表该点的小应变张量分量。显而易见，它也是代表该点的小应变张量分量。显而易见，它也是 对称的。因此，可以将应变张量也写成缩减式的应对称的。因此，可以将应变张量也写成缩减式的应 变矢量变矢量 i i : : 尤其需要注意的是，为了方便定义弹性矩阵，应变尤其需要注意的是，为了方便定义弹性矩阵，应变 矢量的后三个分量都有系数矢量的后三个分量都有系数2 2，还要注意应变矢量，还要注意应变矢量 分量的下标位置与应力矢量的位置对应。分量的下标位置与应力矢量的位置对应。复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础对任何材料，刚度矩阵对任何材料，刚度矩阵 K Kij ij 和柔度矩阵和柔度矩阵 S Sij ij 总是对称总是对称 、正定的。、正定的。 将应力与应变之间的关系称为本构关系，而将描述应将应力与应变之间的关系称为本构关系，而将描述应 力与应变之间关系的方程称为本构方程，类似（力与应变之间关系的方程称为本构方程，类似（3.43.4） 式。式。HookeHooke定律给出的是线弹性本构方程，即定律给出的是线弹性本构方程，即 K Kij ij 和和 S Sij ij 均均保持常量，不随应力或应变不同而改变。保持常量，不随应力或应变不同而改变。 3.1.2. 3.1.2. 各向同性材料各向同性材料 (3.5) 本课程中，更多采用柔度矩阵本课程中，更多采用柔度矩阵 S Sij ij 。若需要刚度矩阵，若需要刚度矩阵， 只需对柔度矩阵求逆。各向同性材料的柔度矩阵是：只需对柔度矩阵求逆。各向同性材料的柔度矩阵是：其中，其中， S Sij ij 和和 S Sij ij 分别是与正应力和剪应力相关的分别是与正应力和剪应力相关的 分块柔度矩阵：分块柔度矩阵：G=0.5E/(1+) (3.6) 三个三个工程弹性常数之间满足如下关系：工程弹性常数之间满足如下关系：复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础3.1.3. 3.1.3. 横观各向同性材料横观各向同性材料 纤维纤维基体基体这种材料有一根旋转对称轴，在这种材料有一根旋转对称轴，在 与该轴垂直的平面内，力学性能与该轴垂直的平面内，力学性能 沿任意方向都相同。沿任意方向都相同。单向复合材料（又称为单向板）单向复合材料（又称为单向板） 就是横观各向同性的。就是横观各向同性的。复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础这种材料有这种材料有5 5个独立的弹性常数，属于各向异性材料个独立的弹性常数，属于各向异性材料 ，但是一种最弱的各向异性材料。，但是一种最弱的各向异性材料。对横观各向同性材料，其材料主轴坐标系是指对横观各向同性材料，其材料主轴坐标系是指x x1 1与旋与旋 转对称轴一致，转对称轴一致， x x2 2和和x x3 3则在与旋转轴垂直的平面内则在与旋转轴垂直的平面内 。于是，沿。于是，沿x x2 2方向的弹性常数与沿方向的弹性常数与沿x x3 3方向的弹性常数方向的弹性常数 相等。相等。在在材料主轴坐标系内，横观各向同性材料的柔度矩材料主轴坐标系内，横观各向同性材料的柔度矩 阵的分块式与（阵的分块式与（3.53.5）式相同，但子块分别是：）式相同，但子块分别是：E E1111、E E2222= =沿沿x x1 1、x x2 2( (或或x x3 3) )方向的弹性模量方向的弹性模量, , 1212、 2323= =两个不同平面内的泊松比两个不同平面内的泊松比, , G G1212、G G2323= =x x1 1- -x x2 2( (或或x x1 1- -x x3 3) )与与x x2 2- -x x3 3平面内的剪切模量。平面内的剪切模量。G23=E22/(2+223). (3.7) 其中，各向同性平面内的三个弹性常数之间满足如其中，各向同性平面内的三个弹性常数之间满足如 下关系：下关系：3.1.4. 3.1.4. 正交各向异性材料正交各向异性材料 复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础正交各向异性材料的分块柔度矩阵与（正交各向异性材料的分块柔度矩阵与（3.53.5）相同）相同 ，但两个分块子矩阵分别是：，但两个分块子矩阵分别是：E E1111, , E E2222, , E E3333= =沿沿 x x1 1, , x x2 2, , x x3 3方向的弹性模量；方向的弹性模量； ij ij=( =(- - jj jj/ / ii ii) , ) , 这里这里 ii ii和和 jj jj分别是指沿分别是指沿x xi i方向施加单向方向施加单向 载荷引起的沿载荷引起的沿x xi i和和x xj j方向的应变；方向的应变；G Gij ij= =x xi i- -x xj j平内的剪切模量。平内的剪切模量。 复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础正交各向异性材料有正交各向异性材料有9 9个独立的弹性常数，是具有（个独立的弹性常数，是具有（ 3.53.5）式柔度矩阵形式的最一般的各向异性材料。）式柔度矩阵形式的最一般的各向异性材料。 （ 3.53.5）式表明：正应力与剪应力之间的响应互不耦合）式表明：正应力与剪应力之间的响应互不耦合 。任何具有多于。任何具有多于9 9个独立弹性常数的各向异性材料都个独立弹性常数的各向异性材料都 会产生耦合响应，即正应力产生剪应变、剪应力产会产生耦合响应，即正应力产生剪应变、剪应力产 生正应变。生正应变。 ij ij/ /E Eii ii= = ji ji/ /E Ejj jj, , i i, , j j=1, 2, 3 (3.8)=1, 2, 3 (3.8)注意，注意，不同方向的泊松比与弹性模量之间满足以下不同方向的泊松比与弹性模量之间满足以下 关系：关系： 复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础刚度矩阵可以由对柔度矩阵各子阵求逆得到：刚度矩阵可以由对柔度矩阵各子阵求逆得到：Kij=(3.9)(3.9)对正交各向异性材料，直接求逆可得：对正交各向异性材料，直接求逆可得： (3.10)(3.10)=1-1221-2332-3113-2213213 例例3.13.1：求各向同性材料的刚度矩阵求各向同性材料的刚度矩阵复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础解：解：刚度矩阵由柔度矩阵求逆得到：刚度矩阵由柔度矩阵求逆得到：其中，其中，3.1.5. 3.1.5. 平面应力状态弹性矩阵平面应力状态弹性矩阵 如果一点处与第三个方向有关的应力皆为如果一点处与第三个方向有关的应力皆为0 0，即，即 3333= = 2323= = 1313=0=0，就说该点，就说该点处于平面应力状态。处于平面应力状态。Kij=复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础由于复合材料通常为薄壁结构，一般都按平面应力由于复合材料通常为薄壁结构，一般都按平面应力 状态处理，因此，平面状态下的应力应变关系就状态处理，因此，平面状态下的应力应变关系就 特别重要。特别重要。如果用柔度矩阵联系平面应变应力关系，那么，如果用柔度矩阵联系平面应变应力关系，那么， 平面柔度矩阵平面柔度矩阵 S Sij ij 3 3 3 3就是三维就是三维柔度矩阵柔度矩阵 S Sij ij 6 6 6 6的的缩减缩减式，即：式，即：这里，这里，S Sij ij是三维柔度矩阵中的对应元素。例如，对是三维柔度矩阵中的对应元素。例如，对 各向同性材料，有：各向同性材料，有：复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑性力学基础然而，如果用刚度矩阵联系平面应力应变关系，然而，如果用刚度矩阵联系平面应力应变关系， 那么，平面刚度矩阵那么，平面刚度矩阵 C Cij ij 就与三维就与三维刚度矩阵刚度矩阵 K Kij ij 6 6 6 6的的 缩减式缩减式 K Kij ij 3 3 3 3不同不同，即：即： 事实上，通过求逆，有：事实上，通过求逆，有：例例3.23.2：求各向同性材料的平面刚度矩阵求各向同性材料的平面刚度矩阵解：解：复合材料力学复合材料力学第三章、弹塑性力学基础第三章、弹塑