离散型随机变量的概念与性质第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布离散型随机变量的定义 如果随机变量 X 的取值是有限个或可列 无 穷个，则称 X 为离散型随机变量返回主目录第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X 的所有可能取值为则称上式或为离散型随机变量 X 的分布律返回主目录说 明离散型随机变量可完全由其分布律来刻划 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布离散型随机变量分布律的性质:返回主目录例 1 从110这10个数字中随机取出5个数字， 令 X：取出的5个数字中的最大值 试求 X 的分布律 解： X 的取值为5，6，7，8，9，10 并且第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布具体写出，即可得 X 的分布律：返回主目录例 2将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差试求 X 的分布律 解： X 的取值为-3，-1，1，3 并且第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布返回主目录例 3设离散型随机变量 X 的分布律为则第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布返回主目录例 3（续）第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布返回主目录例 4设随机变量 X 的分布律为解：由随机变量的性质，得第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布该级数为等比级数，故有所以 返回主目录第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯， 每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表 示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的 分布律. (信号灯的工作是相互独立的).PX=3=(1-p)3p例 5第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布 解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：Xpk0 1 2 3 4 p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3PX= 4 = (1-p)4 例 5(续)返回主目录第二章 随机变量及其数字特征1随机变量及其分 布以 p = 1/2 代入得：Xpk0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625例 5(续)返回主目录1. 概 念定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数称为 X 的分布函数对于任意的实数 x1, x2 (x1 x2) ，有：x1 x2 xXo0xxX随机变量的分布函数返回主目录例 1 设随机变量 X 的分布律 为： 求 X 的分布函数. Xpk-1 2 3解：当 x -1 时，满足0xX -1x2. 例 子3 随机变量的分布函数返回主目录当满足 Xx 的 X 取值为 X = -1, xX-1x当满足 Xx 的 X 取值为 X = -1, 或 2 Xpk-1 2 33 随机变量的分布函数返回主目录同理当-1 0 1 2 3 x13 随机变量的分布函数返回主目录-1 0 1 2 3 x13 随机变量的分布函数-1 0 1 2 3 x1分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=PX= xk.Xpk-1 2 33 随机变量的分布函数返回主目录例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.解：（1） 若 x 0, 则 是不可能事件，于是（2）X3 随机变量的分布函数（3） 若 , 则 是必然事件，于是3 随机变量的分布函数返回主目录0 1 2 31F(x)x3 随机变量的分布函数返回主目录3. 分 布 函 数 的 性 质分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以 看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：10 F (x) 是一个不减的函数 0 1 2 31F(x)x3 随机变量的分布函数返回主目录2030-1 0 1 2 3 x13 随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率3 随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率3 随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率3 随机变量的分布函数返回主目录例 33 随机变量的分布函数返回主目录例 3（续 ）3 随机变量的分布函数返回主目录例 4设随机变量 X 的分布函数为解： 由分布函数的性质，我们有3 随机变量的分布函数返回主目录例 4（续）解方程组得解3 随机变量的分布函数返回主目录