第五章第五章 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.3 5.3 实实对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.4 5.4 应用举例应用举例15.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量主要内容: 一.特征值特征向量的定义二.特征值与特征向量的性质2引言引言矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如 ： 工程技术中的振动问题和稳定性问题;经济管理中的主成分分析(PCA);数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性 ;图像(信息)处理中的压缩存取.其本质就是:对于一个给定的n阶矩阵A,如果存在的话，如何找？3定义:设A是n阶方阵, 如果数 和n维非零非零列向量x满足则称 为A的特征值特征值, 非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值 的特征向量特征向量。把(1)改写为使得(2)有非零解 (2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量.是A的特征值 一.特征值特征向量的定义4称为 A 的特征多项式，而 称为 A 的特征方程。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围内恰有 n 个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远约定约定在复数范围内.5设 n 阶方阵 特征值为, 则又二.特征值与特征向量的性质6例1求矩阵 的特征值.两个特征值为问: 特征向量是实的还是复的?由定义很容易验证：7例2求 A 的特征值.因此, n 个特征值为问：对角矩阵,下三角矩阵的特征值为多少？8例3求矩阵 A，B 的特征值和所有的特征向量?解 （对于矩阵A）9A 的特征值为对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为10对于 ，解方程组同解方程组为 ，令得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为11(对于矩阵B)B 的特征值为12对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为13对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为14求方阵的特征值与特征向量的方法和步骤如下：其非零的通解为对应于从以上例子可看到：当一个矩阵的特征值为重根时，对应的线性无 关的特征向量的个数不一定等于重根数15回答问题：回答问题： (1) 向量 满足 , 是 A 的特征向量吗？(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗 ? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值_。，A 有一个特征值为_。(4) ，A 有一个特征值为_。可逆, A 的特征值一定不等于_。(5) A 的特征值与 的特征值有什么关系？不是不一定全不为零相等16(6) 一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值?(7) A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值是_, 它对应的特征向量是_。特征向量的个数=_。是 的一个特征值，它对应的最大无关的只对应一个217例5设 是方阵 A 的特征值, 对应的一个特征向量证明(1) 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。(2) 是 的特征值，对应的特征向量仍为 x。(3) 当 A 可逆时， 是 的特征值，对应的特征向量仍为 x。证18推广推广：设 是方阵 A 的特征值， 则 是 的特征值。的特征值。如果 A 可逆，则的特征值。是是思考：19例6设3阶矩阵A的三个特征值为求解 A的特征值全不为零，故A可逆。的三个特征值为计算得因此，20定理设是方阵A的m个特征值, 依次是与之对应的特征向量,证明: 两边左乘A得:设为C21证明A的特征值只能取1或2.设 是A的特征值，则的特征值为由于 是零矩阵，其特征值全是零，故证证例7所以书165引理22小结:主要介绍了特征值与特征向量的定义;如何求特征值与特征向量;特征值与特征向量的性质.23作业:24第五章第五章 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.3 5.3 实实对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.4 5.4 应用举例应用举例255.2 5.2 相似矩阵相似矩阵矩阵的相似关系可简化矩阵的计算, 简化线性微分方程组,不仅在理论中起重要作用,在实践中也有广泛的应用.主要内容:一.矩阵相似的定义二.相似矩阵的性质三.矩阵可对角化的充要条件265.2 5.2 相似矩阵相似矩阵设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A A与与B B相似相似。对A进行运算 称为对A进行相似变换相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。定义定义特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对可对角化的角化的。一.相似矩阵的定义27二.相似矩阵的性质(1) 相似关系是一种等价关系;(2) A与B相似, 则r(A)=r(B);(3) A与B相似, 则 ;从而A与B有相同的特征值;(4) A与B相似, 则 ;(6) A与B相似, 则 与 相似;其中(7) A与B相似, 且A可逆, 则 与 相似。(5) A与B相似, 则 ;28例1(1) 与相似，求x与y和A的特征值。(2) 与相似，求a与b。解 (1) A的特征值等于B的特征值为：29(2)30三.矩阵可对角化的充要条件说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。定理定理n阶矩阵A可对角化的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量。31n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。推论推论于是对于矩阵是否可以对角化,判断如下:2.如果所有的特征值都是单根,则A一定能对角化3.如果A的特征值有重根,的基础解系, 如果基础解系所含向量则A可以对角化,且有这些基 础解系排成的矩阵为相似变换矩阵.32例1线性无关，由上面定理，求特征值 求线性无关的特征向量，即求 的基础解系判断A是否可对角化如果可以并求相似变换矩阵.解:令所以A可以对角化.33定理定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。 即: 设互不同，此时则 A可对角化的充要条件是亦即: 的重数 恰好等于它对应的最大无关特征向量的个数。 简称:几重特征值有几个线性无关的特征向量几重特征值有几个线性无关的特征向量. . 34例2问 x 为何值时，A 可对角化？是单重根，恰有一个特征向量(不需讨论)。是二重根，A可对角化35例3可对角化,则x,y应满足的条件是解:36例3 设3阶方阵A的特征值为 ,其对应的特征向量分别为:解:37小结:介绍了相似矩阵; 相似矩阵的性质矩阵可对角化的充要条件.38作业:39第五章第五章 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.3 5.3 实实对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.4 5.4 应用举例应用举例405.3 (5.3 (实实) )对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化性质性质2 2实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.性质性质1 1实对称矩阵的特征值必为实数。(证明自学)从而特征向量可取到实的。证41定理定理实对称矩阵必可正交对角化。即设A是对称矩阵, 则存在正交矩阵Q使得推论推论实对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数 . 即等于其对应的最大无关特征向量的个数。即42例1把对称矩阵 正交对角化。第第1 1步步:求特征值。(特征值必都是实数)43第第2 2步步:求线性无关的特征向量。对 ，解方程组求得基础解系(即最大无关特征向量)44对 ，解方程组求得基础解系(即最大无关特征向量)前面的45第第3 3步步:检验重特征值对应的特征向量是否正交, 如果不正交, 用施密特过程正交化, 再把正交的特征向量单位化。46第第4 4步步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。单位化：则令47例2设3阶对称矩阵A的特征值为与特征值 对应的特征向量为求A。设对应于 的无关特征向量为则说明是方程组的基础解系, 因此上面方程组的任意基础解系都是对应于 的特征向量。解(1)可求得48小结:介绍了实对称矩阵特征值与特征向量的性质;实对称矩阵对角化的方法与步骤.49作业50