RMI 原则在高中几何教学中的应用广东省清远市清城中学高中部张爱菊广西壮族自治区桂林市桂林理工大学理学院张浩奇摘要：本文简单介绍了 RMI 原则，从 5 个方面以 5 个例子说明了 RMI 原则在高中几何教学中的应用，在解题中突出算法思想，以流程图的形式清楚地表述出解题思想过程。关键词：RMI 原则；高中几何；教学；流程图1.RMI 原则简介关系 (relation) 映射(mapping)反演 (inversion) 原则是一种普遍的工作原则，简称为 RMI 原则。其基本思想如图 1: 我们知道，一道数学题或一个数学理论，都是由一些已知的数学对象，已知的数学关系和未知的（待定的）数学对象与关系组成的，我们把由这些对象与关系组成的集合称为关系结构系统。显然，上面框图中 ，都是一个关系结构系统。如果我们能在 与 之间建立起某种确定的对应关系，使 中的 在 中有唯一的元素与之对应，且能够通过数学手续在 中把映象目标 确定下来，那么，这种对应就称为可定映映射。同样，“反演”也是一种对应，且满足“ 可以被 确定”。RMI 原则告诉我们：如果在原象关系结构系统 中不易确定原象目标 ，我们可以通过适当的可定映映射，将 转化为 ，并在 中确定映象目标，再通过反演确定 。2. RMI 原则在高中几何教学中的应用在高中数学教材中，多处运用了 RMI 原则解决数学问题的思想和方法，所以，教师在教学中可以向学生明确指出这种思想方法，使之作为一种思想方法自觉运用。让学生知道，我们在解决数学问题时常推来推去缺不是毫无目的的；而是在寻求一种将“未知、复杂、困难”的问题转化为“已知、简单、容易”问题的“映射”，使问题转化后在新的领域中得到解决，再“反转”回到原来的领域中去。将学生的思想提高到 RMI 原则的高度来认识。这样可以减少学生在解决数学问题时的盲目性，提高学生解决数学问题的能力及学习数学的兴趣。加深学生对数学本质的认识，强化“数学细胞”，提高数学素质。根据新课改后高中教材的知识内容及要求，RMI 原则解决数学问题的思想和方法在几何部分显得尤为突出。下面，本文将介绍 RMI 原则在高中几何教学中的具体应用。2.1. 坐标法在高中几何中，由于引入了平面直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系和仿射坐标，所以使许多平面几何问题可以借助于 RMI 原则将其映射到代数问题求解，然后反演到几何问题。由于它借助于坐标系这个工具，所以我们把这种 RMI 原则方法称为坐标法。其基本思想如图 2：例 1. 如图 3，已知半圆 的直径为 ， 为位于半圆之外，而又垂直于 的延长线，其垂足为 ，且 ，又 是半圆上的不同的两点，且 求证： .分析：采用平面几何的方法证明本题是较困难的，但使用 RMI 原则将此几何问题映射为代数问题，运用代数变换方法先寻求代数结论，再反演为几何结论，那就容易多了。其解题思路流程图如图 4： 解：以 为极点，射线 为极轴，建立极坐标系（图 3）。 设 ，则半圆方程为：设 ，则 ，且， （1 ）， （2 ）又由图 3 知： ， ，而 ，所以（3）同理得 （4）由（1）（3 ）得由（2）（4 ）得上面两式说明 ， 是方程 的两根，所以按韦达定理有，故 .2.2. 向量法向量作为高中数学的基本内容之一,兼有代数与几何两种形式,具有代数的抽象与几何的直观,是集“数”和“形”于一身的数学概念。高中数学中许多难度较大的问题,若引入向量来处理,就能使问题简单化,这为我们的解题注入新的活力，也完美的体现了 RMI 原则的思想方法。其基本思想方法如图 5：例 2如图 6 所示， 分别是 的直径。 与两圆所在的平面均垂直， ， 是 的直径， ， . 求：直线 与 所成的角。分析：求异面直线所成角，我们往往是平移其中一条直线与另一条相交，然后得到要求角，然而，如果我们引入向量，根据向量的平移不变性，我们不需辅助线，而直接运用向量知识就能求出两异面直线所成角，其解题思路流程图如图 7： 解： 以 为原点， 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图6 所示），则有从而有， 因此，设异面直线 与 所成角为 ，则所以，异面直线 与 所成角2.3. 复数向量法在高中数学中，通过复平面，使复数、复平面上的点和复平面内以原点为起点的向量，三者之间建立了一一对应的关系。即如图 8：我们把一个问题映射为有关复数的和向量的关系结构系统，并据此定映和反演的数学方法称为复数向量法。其基本思想如图 9：例 3. 如图 10，已知点 ，又点 在焦点为 点和 点，长轴长为 4 的椭圆上运动，以 为边作一个正 ，求 点的轨迹。分析：这是一个典型的平面解析几何问题。考虑到 可以由 按顺时针方向旋转而得到，所以把它映射为向量问题，进而映射为复数问题求解，这是一个简单可行的办法。其解题思路流程图如图 11：解： 第一步，先写出椭圆的复数方程 ，并假设点 对应复数 ，点 对应复数 .又知点 对应复数 3.于是向量 对应复数 ，而向量对应复数 .如此，就把原问题的关系结构系统映射为关于复数与向量的关系结构系统了。第二步，进行向量与复数的运算： ，因而有 所以 由于 满足方程 .所以有.整理得： .第三步，根据复数的几何意义反演为几何结论可知， 点轨迹为以点 与点为焦点，长轴长为 4 的椭圆。2.4. 参数法 高中几何的许多问题中，若引入参数，会使问题更易于解决。我们把借助于参变数进行映射、反演的方法称为参数法。其过程的模式如图 12:例 4：已知椭圆 求这个椭圆上的点的横坐标与纵坐标之和的最大值与最小值。分析：本题直接求解较困难，若用 RMI 原则中的参数法将显得比较容易，其解题思路流程图如图 13：解：先设椭圆上的点为 ，那么问题即为求 的最大值与最小值。然而，这样假设以后，在问题给出的关系结构系统 中，仍然很难求得解答。于是我们引入一个参数, 令 ，从而把 映射为含 的关系结构系统 . 于是，将 略加变形为 ，就可把它视为一组斜率是 的直线系方程。其中 的几何意义是纵截距，因直线系方程中的 必须是椭圆上的坐标，故求 的最大值和最小值就映射为求所过椭圆上的点的斜率为 的直线的纵截距的最大值和最小值。由图 14 可知椭圆的两条切线的纵截距为这组直线系中截距的最大者和最小者。又椭圆的切线方程为 . 故 的最大者为 ，最小者为 ，即的最大值为 ，最小值为 。2.5.立体问题平面化法立体几何的基本方法是将立体问题平面化，抽出平面图形，用平面的语言体现元素间的关系，进而转化为代数问题， 这就是 RMI 原则的具体应用，借助平面几何知识有效解决立体几何问题。其思想过程如图 15： 例 5. 如图 16，在正方形 中，棱长为 1， 为 上任意一点，设二面角 的平面角分别为 ，求 的最小值。分析：本题采用立体几何平面化来处理将显得简易，其解题思路流程图如图 18：解：如图 16，设 ，且点 在底面的射影为点 ，过点 分别作 交于 ， 交 于 ， ， .如图 17，将 和 绕着 旋转到面 上，得到 和 ，则 ， .= = .又 ， ，由均值不等式得：故 ，即 的最小值为 .3. 结语根据新课标的要求，在高中几何教学过程中，重要的是要引导学生如何思考问题和解决问题，如何将所学知识联系在一起，建立知识框架，并巧妙的用来到解决问题。应用RMI 原则进行高中几何教学，能挖掘出知识之间的内在联系，有效地发展学生的思维能力，极大地培养学生解决问题的能力。本文从五个方面以 5 个实例来阐述 RMI 原则在高中几何教学中的具体应用。灵活运用上面提到的常见映射和相应的反演方法，对学生学习和掌握高中几何知识有很大的帮助，同时对培养学生处理问题的能力和创新能力也有很大的帮助。