基础数学专业优秀论文基础数学专业优秀论文 四阶微分方程四阶微分方程 NeumannNeumann 边值问题边值问题关键词：四阶微分方程关键词：四阶微分方程 变号解变号解 NeumannNeumann 边值问题边值问题 不动点指数不动点指数 临界群临界群 存在性存在性摘要：在这篇文章中，我们主要研究四阶微分方程 Neumann 边值问题：两个变 号解的存在性.论文分三章：第一章为引言；在第二章中，我们介绍了一些预备 知识，证明了一些引理，并且用拓扑度理论，变分方法和无穷维 Morse 理论得 出了方程(1.1)至少有一个正解，一个变号解，进一步用临界群计算出了第一个 变号解的不动点指数，这个结果用传统的临界点理论和不动点指数理论是无法 得到的；在第三章中，我们应用第二章的结论，通过简单的计算，得到了第二 个变号解的存在性. 近年来，许多作者研究了四阶微分方程 Drichlet 边值问 题：?得到了许多好的结果，如5，9，12，13.但是很少有人研究方程(1.1). 主要的原因有三方面： (1)如果用传统的拓扑度理论，则与研究方程 (1.1#39;)没有本质的区别， (2)很难应用传统的变分方法把方程(1.1)转 化成 Hlt;,0gt;lt;,2gt;0，1中的泛函来研究， (3) 对孤立临界点的性质缺乏更进一步的描述.在这篇文章中，我们用 Klt;#39;2gt;的平方根算子和 Morse 理论避免了上述三个方面 的困难，得出了用传统的拓扑度理论无法得到的结果.本文的另一创新之处在于 非线性项_厂在无穷远点是跳跃的，这使得我们无法应用普通的方法来证明 P.S 条件. 在文4中，作者在较强的条件下(f 在无穷远点是非跳跃且次线性的) 证明了方程(1.1#39;)至少有一个正解，一个变号解和另外一个非平凡解. 本文在较弱的条件下证明了第二个变号解的存在性，这是本文的又一创新. 我们总假设.厂满足下面的条件： (flt;,1gt;) fClt;#39;1gt;(0，1R，R)且，是递增的； (flt;,2gt;)对任意的 t0，1，f(t，0)=0，且对某个 k2，有 lt;,kgt;lt;f#39;lt;,ugt;(t，0) lt;lt;,k+1gt;； (flt;,3gt;)lim suplt;,ugt;+ f(t，u)/ult;lt;,1gt;，对 t0，1一致成立； (flt;,4gt;) lt;lt;,1gt;lt;lim inflt;,ugt;- f(t，u)/ulim suplt;,ugt;- f(t，u)/ult;+，对 t0，1一致成立； 这里 lt;,kgt;是方程(1.1)的特征值， lt;,kgt;gt;0,kN. 下面，我们介绍本文的主要结果定 理 11假设(flt;,1gt;)-(flt;,4gt;)成立，则方程 (1.1)至少有一个正解，两个变号解正文内容正文内容在这篇文章中，我们主要研究四阶微分方程 Neumann 边值问题：两个变号 解的存在性.论文分三章：第一章为引言；在第二章中，我们介绍了一些预备知 识，证明了一些引理，并且用拓扑度理论，变分方法和无穷维 Morse 理论得出 了方程(1.1)至少有一个正解，一个变号解，进一步用临界群计算出了第一个变 号解的不动点指数，这个结果用传统的临界点理论和不动点指数理论是无法得 到的；在第三章中，我们应用第二章的结论，通过简单的计算，得到了第二个 变号解的存在性. 近年来，许多作者研究了四阶微分方程 Drichlet 边值问题： ?得到了许多好的结果，如5，9，12，13.但是很少有人研究方程(1.1).主要 的原因有三方面： (1)如果用传统的拓扑度理论，则与研究方程(1.1#39;)没 有本质的区别， (2)很难应用传统的变分方法把方程(1.1)转化成 Hlt;,0gt;lt;,2gt;0，1中的泛函来研究， (3)对孤立 临界点的性质缺乏更进一步的描述.在这篇文章中，我们用 Klt;#39;2gt;的平方根算子和 Morse 理论避免了上述三个方面 的困难，得出了用传统的拓扑度理论无法得到的结果.本文的另一创新之处在于 非线性项_厂在无穷远点是跳跃的，这使得我们无法应用普通的方法来证明 P.S 条件. 在文4中，作者在较强的条件下(f 在无穷远点是非跳跃且次线性的) 证明了方程(1.1#39;)至少有一个正解，一个变号解和另外一个非平凡解. 本文在较弱的条件下证明了第二个变号解的存在性，这是本文的又一创新. 我们总假设.厂满足下面的条件： (flt;,1gt;) fClt;#39;1gt;(0，1R，R)且，是递增的； (flt;,2gt;)对任意的 t0，1，f(t，0)=0，且对某个 k2，有 lt;,kgt;lt;f#39;lt;,ugt;(t，0) lt;lt;,k+1gt;； (flt;,3gt;)lim suplt;,ugt;+ f(t，u)/ult;lt;,1gt;，对 t0，1一致成立； (flt;,4gt;) lt;lt;,1gt;lt;lim inflt;,ugt;- f(t，u)/ulim suplt;,ugt;- f(t，u)/ult;+，对 t0，1一致成立； 这里 lt;,kgt;是方程(1.1)的特征值， lt;,kgt;gt;0,kN. 下面，我们介绍本文的主要结果定 理 11假设(flt;,1gt;)-(flt;,4gt;)成立，则方程 (1.1)至少有一个正解，两个变号解 在这篇文章中，我们主要研究四阶微分方程 Neumann 边值问题：两个变号解的 存在性.论文分三章：第一章为引言；在第二章中，我们介绍了一些预备知识， 证明了一些引理，并且用拓扑度理论，变分方法和无穷维 Morse 理论得出了方 程(1.1)至少有一个正解，一个变号解，进一步用临界群计算出了第一个变号解 的不动点指数，这个结果用传统的临界点理论和不动点指数理论是无法得到的； 在第三章中，我们应用第二章的结论，通过简单的计算，得到了第二个变号解 的存在性. 近年来，许多作者研究了四阶微分方程 Drichlet 边值问题：?得 到了许多好的结果，如5，9，12，13.但是很少有人研究方程(1.1).主要的原 因有三方面： (1)如果用传统的拓扑度理论，则与研究方程(1.1#39;)没 有本质的区别， (2)很难应用传统的变分方法把方程(1.1)转化成 Hlt;,0gt;lt;,2gt;0，1中的泛函来研究， (3)对孤立临界点的性质缺乏更进一步的描述.在这篇文章中，我们用 Klt;#39;2gt;的平方根算子和 Morse 理论避免了上述三个方面 的困难，得出了用传统的拓扑度理论无法得到的结果.本文的另一创新之处在于 非线性项_厂在无穷远点是跳跃的，这使得我们无法应用普通的方法来证明 P.S 条件. 在文4中，作者在较强的条件下(f 在无穷远点是非跳跃且次线性的) 证明了方程(1.1#39;)至少有一个正解，一个变号解和另外一个非平凡解. 本文在较弱的条件下证明了第二个变号解的存在性，这是本文的又一创新. 我们总假设.厂满足下面的条件： (flt;,1gt;) fClt;#39;1gt;(0，1R，R)且，是递增的； (flt;,2gt;)对任意的 t0，1，f(t，0)=0，且对某个 k2，有 lt;,kgt;lt;f#39;lt;,ugt;(t，0) lt;lt;,k+1gt;； (flt;,3gt;)lim suplt;,ugt;+ f(t，u)/ult;lt;,1gt;，对 t0，1一致成立； (flt;,4gt;) lt;lt;,1gt;lt;lim inflt;,ugt;- f(t，u)/ulim suplt;,ugt;- f(t，u)/ult;+，对 t0，1一致成立； 这里 lt;,kgt;是方程(1.1)的特征值， lt;,kgt;gt;0,kN. 下面，我们介绍本文的主要结果定 理 11假设(flt;,1gt;)-(flt;,4gt;)成立，则方程 (1.1)至少有一个正解，两个变号解 在这篇文章中，我们主要研究四阶微分方程 Neumann 边值问题：两个变号解的 存在性.论文分三章：第一章为引言；在第二章中，我们介绍了一些预备知识， 证明了一些引理，并且用拓扑度理论，变分方法和无穷维 Morse 理论得出了方 程(1.1)至少有一个正解，一个变号解，进一步用临界群计算出了第一个变号解 的不动点指数，这个结果用传统的临界点理论和不动点指数理论是无法得到的； 在第三章中，我们应用第二章的结论，通过简单的计算，得到了第二个变号解 的存在性. 近年来，许多作者研究了四阶微分方程 Drichlet 边值问题：?得 到了许多好的结果，如5，9，12，13.但是很少有人研究方程(1.1).主要的原 因有三方面： (1)如果用传统的拓扑度理论，则与研究方程(1.1#39;)没 有本质的区别， (2)很难应用传统的变分方法把方程(1.1)转化成 Hlt;,0gt;lt;,2gt;0，1中的泛函来研究， (3)对孤立 临界点的性质缺乏更进一步的描述.在这篇文章中，我们用 Klt;#39;2gt;的平方根算子和 Morse 理论避免了上述三个方面 的困难，得出了用传统的拓扑度理论无法得到的结果.本文的另一创新之处在于 非线性项_厂在无穷远点是跳跃的，这使得我们无法应用普通的方法来证明 P.S 条件. 在文4中，作者在较强的条件下(f 在无穷远点是非跳跃且次线性的) 证明了方程(1.1#39;)至少有一个正解，一个变号解和另外一个非平凡解. 本文在较弱的条件下证明了第二个变号解的存在性，这是本文的又一创新. 我们总假设.厂满足下面的条件： (flt;,1gt;) fClt;#39;1gt;(0，1R，R)且，是递增的； (flt;,2gt;)对任意的 t0，1，f(t，0)=0，且对某个 k2，有 lt;,kgt;lt;f#39;lt;,ugt;(t，0) lt;lt;,k+1gt;； (flt;,3gt;)lim suplt;,ugt;+ f(t，u)/ult;lt;,1gt;，对t0，1一致成立； (flt;,4gt;) lt;lt;,1gt;lt;lim inflt;,ugt;- f(t，u)/ulim suplt;,ugt;- f(t，u)/ult;+，对 t0，1一致成立； 这里 lt;,kgt;是方程(1.1)的特征值， lt;,kgt;gt;0,kN. 下面，我们介绍本文的主要结果定 理 11假设(flt;,1gt;)-(flt;,4gt;)成立，则方程 (1.1)至少有一个正解，两个变号解 在这篇文章中，我们主要研究四阶微分方程 Neumann 边值问题：两个变号解的 存在性.论文分三章：第一章为引言；在第二章中，我们介绍了一些预备知识， 证明了一些引理，并且用拓扑度理论，变分方法和无穷维 Morse 理论得出了方 程(1.1)至少有一个正解，一个变号解，进一步用临界群计算出了第一个变号解 的不动点指数，这个结果用传统的临界点理论和不动点指数理论是无法得到的； 在第三章中，我们应用第二章的结论，通过简单的计算，得到了第二个变号解 的存在性. 近年来，许多作者研究了四阶微分方程 Drichlet 边值问题：?得 到了许多好的结果，如5，9，12，13.但是很少有人研究方程(1.1).主要的原 因有三方面： (1)如果用传统的拓扑度理论，则与研究方程(1.1#39;)没 有本质的区别， (2)很难