东华理工大学理学院东华理工大学理学院男生竞争女生好感的数学模型 分析 本文针对竞争中“强者愈强”的马太效应的特点 ，构建了男生竞争女生的好感模型；然后利 用常微分方程的知识对二维的特殊情形进行 了定性分析和仿真，并仿真分析了模型中的 有关参数对系统的作用。然后针对分析结果 讨论了影响两个男生在一定量女生中拥有的 好感程度的主导因素。Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院一、前言 市场经济中有一条“正反馈循环”规律，也 就是比尔盖茨在其未来之路中津津乐 道的正螺旋效应，即“好的越好，而糟的越 糟”，导致“赢家通吃”，这是类似于生态 系统中种群竞争的一种模型。 人类社会生活中这样的情况也是屡见不鲜， 下面，我们以两个男生竞争一定量女生的好 感为例，从数学上给出一点解释。Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院二、男生间魅力的竞争模 型 我们来考虑多个男生之间竞争的数学模型。 假定有n个男生有着相似的条件，竞争比男生数 量多的一定量(m个)的女生的好感。 设 表示I男生在特定女生群中的好感度Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院由两个主要因素决定: 当无其他男生竞争时，在刚开始时以指数型增长， 最终达到其最大容量 ，其中 为固定增长系数。 当有其他男生竞争时，假设每个女生看好一个男生 的概率独立于看好另一个男生的概率，即呈现独立 分布. 因此 , 就是同时看好男生i和男生j的女生的比 率。由于男生i和男生j条件相同，有些女生以后可能 只对其中某一个男生有好感而对另外一个的好感消 失. Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 因此有 表示从对i男生有好感转移 到对j男生有好感的女生的比例,其中 是转移常数， 表示女生对一个男生的好感转移 到另外一个男生同这两个男生各自拥有的女 生的好感的多少有关，女生从拥有女生好感 多的男生转移到拥有女生好感少的男生的人 数相对要少，反之，转移要多。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 同理有 ， ， 可以不同。于是，相关的数学模型 为： 其中 （1） 以上模型（1）描述了多个男生之间竞争情 况。 。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 这个模型中有两个前提条件： 一是供大于求。这是由于男生得到女生的好 感的边际成本几乎为零，并且男生对自身条 件提高的投资只是在前期投入较大成本，而 以后随女生对其好感的增加和自身条件的提 高而增加的软、硬件成本都相对较低，因此 男生总能也愿意通过较少的投资来满足女生 的喜好。 二是男生总有办法吸引一定量的女生对自己 产生好感（可能这个“一定量”并不是女生 真的喜欢上该男生，只是对这男生有一定量 的好感。）Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院动态竞争模型： （2） 模型（1）同模型（2）相比，增加了 项，其作用是体现男生的“强者更强”的特性。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院对男生魅力竞争模型 (1) ，我们先从 各系数相同即各男生条件相同这种较 简单的情形进行分析。 此时 模型 (1)变为 （3） 其中， Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院三、两个男生之间的竞争情 况 我们先分析一种简单的情况两个相 同条件男生的竞争情况，此时模型为： （4） 其中， Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 由模型要求 ，只考虑第一象限的情况 。方程（4）的奇点为： 其中Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 首先看u、v的存在性：因0，当0时，u 、v为实数，即有 。交 点A、B、C、D均在第一象限，E、F也在 第一象限的条件为： 并且 即得条件Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 下面分析各奇点的稳定性 ： 奇点的稳定性可通过下面的行列式对应的特 征值进行分析。 分别为A、B、C、D、E、F。 （具体分析略） 分析结果为：A为不稳定结点， B、C为稳定 结点， D为稳定结点， E、F为稳定结点。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 根据以上分析，可得 系统（4）(在第一象限 中)必有三个奇点A（0，0）、B（，0）、 C(0, )，其中， A（0，0）为不稳定结点（源 点）。 此外对系统（4）的极限环存在情况分析可得 ：边界及曲线上的轨线走向是由线段AB、BN 、NG、GD、DA构成包围奇点E的闭区域， 当t增加时，除线段AB上的轨线指向点B之外 ，其余方向全指向区域内部；而奇点E是一个 稳定结点，因此在此区域无极限环。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院我们可以用MatLab对不同取值的、 、进行了模拟仿真，系统的相图如图 所示。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院四 结论 我们首先分析相图上的一些特征： 图1图2中各曲线的稳定结点代表系统相对稳定 后的两个男生所拥有的好感度. 一个女生可以同时对两个男生产生好感，当系统稳 定时两个男生拥有的共同对自己有好感的女生在所 有女生中的比例也间接说明了竞争的激烈程度，当 对两个男生都有好感的女生多时说明竞争相对较为 平缓。表现在相图中 的值。图中的BC直线 即为 ，如果稳定结点位于直线BC上方， 即 说明对两个男生都有好感的女生多， 竞争平缓。如图1和图2（b），反之，则说明竞争激 烈。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 系统参数的代表两个男生之间相对竞争的激 烈程度。由模型的实际含义，我们知道， 表示某个男生的自身条件增长系数，表示 某个男生同其他男生之间的竞争激烈程度。 表示男生自身的发展起主导 作用，竞争相对平缓。如图2（b）和图1（1 ）所示。反之， 表示竞争比较 激烈如图2（a）。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 时，系统稳定后两个男生 在女生中的受欢迎程度旗鼓相当，但由 于的不同系统发展不同： 第一种，不受初始值影响，两个男生最 后拥有的女生的好感程度相同，如图2（b ）所示，这是由于的影响很小。 第二种，受初始值的影响，初始更受女 生的男生最后拥有的女生的好感程度更 高。如图1（a）所示， Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 以直线ADC为分界线，当两个男生初始受 女生的欢迎情况在左半平面时，说明对男 生2有好感的女生多，在系统发展过程中对 男生2有好感的女生数增加，而对男生1有 好感的女生数减少。因此系统稳定于E点， 对男生2有好感的女生更多。 反之，在直线ADC的右半平面，男生1最后 拥有绝大多数女生的好感。 这种情况充分体现了“强者更强”的特点 。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 另外也看出，“赢家通吃”是发生在竞 争激烈的情况，如图2（a）最后只有一 个女生差不多都对一个男生有好感。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 总之，对于相同、的情况，最初对 男生有好感的女生量的不同决定最终女生对 其的好感程度，而最初对男生有好感的女生 量的提高在于男生的吸引力； 对于相同初始值情况下，、的不同 取值导致最后的发展结果不同，因此，对于 每一个男生来说，采用什么策略，通过什么 方法提高自身的发展即提高或是竞争能力， 是决定最终女生对其的好感程度的关键。 男生必须通过提高自身的素质、地位等来增 强自身条件的增长率，当然，自身增长率的 提高间接导致竞争能力的增强。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 对于三个乃至多个男生竞争时，情况同 两个男生时相似，但竞争更为激烈。另 外，系统趋向的复杂度大大提高，边界 上的点趋向大致同两个男生时相似，空 间的趋向要复杂很多。 Date数学建模东华理工大学理学院东华理工大学理学院 以上分析仅供各位同学参考！Date数学建模