第3讲 万有引力 人造卫星 1.内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成_，跟它们的距离的二次方_2.公式：F=_，其中G为引力常量，G=6.6710-11 Nm2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定考点1 万有引力定律正比成反比3.适用条件：两个_的相互作用（1）质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为_.（2）一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为_.质点之间两球心间的距离质点到球心间的距离1.解决天体圆周运动问题的两条思路（1）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体的自转运动时，万有引力等于重力，即 整理得Gm=gR2，称为黄金代换. （g表示天体表面的重力加速度）（2）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即2.天体质量和密度的计算（1）估算中心天体的质量.从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r，就可以求出中心天体的质量m.从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R，就可以求出中心天体的质量m.（2）估算中心天体的密度.测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由 得（R0为天体的半径）若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r=R0，则有有一宇宙飞船到了某行星的表面附近（该行星没有自转运动），以速度v接近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得（ ）A.该行星的半径为B.该行星的平均密度为C.无法测出该行星的质量D.该行星表面的重力加速度为【解析】选A、B、D.由 可得： A正确；由可得： C错误；由 得： B正确；由 得： D正确.考点2 人造卫星与宇宙速度_数值(km/s) 7.9 宇宙速度 第一宇宙速度( 环绕速度) 第二宇宙速度 (脱离速度) 11.2 意义 是人造地球卫星的最小_速度， 也是人造地球卫星绕地球做圆周运 动的_速度. 使物体挣脱_引力束缚的最 小发射速度. 第三宇宙速度( 逃逸速度) 16.7 使物体挣脱_引力束缚的最 小发射速度.太阳地球最大环绕发射1.卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由 可推导出：2.卫星的变轨问题当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行:（1）当卫星的速度突然增加时， 即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 可知其运行速度比原轨道时减小;（2）当卫星的速度突然减小时， 即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 可知其运行速度比原轨道时增大;卫星的发射和回收就是利用这一原理.3.地球同步卫星的特点（1）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.（2）周期一定：与地球自转周期相同，即T24 h86 400 s.（3）角速度一定：与地球自转的角速度相同.（4）高度一定：据 得 =4.23104 km，卫星离地面高度hrR6R（为恒量）.（5）绕行方向一定：与地球自转的方向一致.4.极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.我国数据中继卫星“天链一号01星”在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，成功定点在东经77赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ）A.运行速度大于7.9 km/sB.离地面高度一定，相对地面静止C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等【解析】选B、C.由万有引力提供向心力得：即线速度v随轨道半径r的增大而减小，v=7.9 km/s为第一宇宙速度即围绕地球表面运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度应小于7.9 km/s，故A错；因同步卫星与地球自转同步，即T、相同，故其相对地面静止，由公式 得 因G、m、R均为定值，故h一定为定值，B对；因同步卫星周期T同=24小时，月球绕地球转动周期T月30天，即T同月，故C对；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式a向=r2，可得： 因轨道半径不同，故其向心加速度不同，D错误.天体质量和密度的估算 【例证1】（2011福建高考）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式 则可估算月球的（ ）A.密度B.质量C.半径D.自转周期【解题指南】解答本题时可按以下思路分析：（1）利用万有引力提供向心力列式.（2）结合隐含条件r=R和球体体积公式联立求解.【自主解答】选A.由万有引力提供向心力有在月球表面轨道有r=R，由球体体积公式 联立解得月球的密度 故选A.【总结提升】中心天体的质量和密度的估算方法（1）测出中心天体表面的重力加速度g，估算天体质量：进而求得（2）利用环绕天体的轨道半径r、周期T，估算天体质量：即即若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r=R，则【变式训练】（2011江苏高考）一行星绕恒星做圆周运动.由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则（ ）A.恒星的质量为B.行星的质量为C.行星运动的轨道半径为D.行星运动的加速度为【解析】选A、C、D.根据周期公式 可得 C对；根据向心加速度公式 D对；根据万有引力提供向心力可得 A对，B错.人造卫星问题的规范求解 【例证2】（2012南宁模拟）（12分）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响.（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.【解题指南】解答本题时应注意理解以下两点：（1）“第一宇宙速度”的含义即轨道半径r与地球半径R相等.（2）地球卫星的周期、线速度、向心加速度均由轨道半径决定.【规范解答】（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M在地球表面附近满足（2分）卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力（2分）解得 （2分）（2）考虑式，卫星受到的万有引力为（2分）由牛顿第二定律（2分）联立式解得 （2分）答案：（1） （2）【互动探究】在【例证2】中，若题干中再加上“已知月球的半径为R0,月球表面重力加速度为g0，不考虑月球自转的影响.”则月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为多少？【解析】设卫星的质量为m，月球的质量为M0在月球表面附近，由牛顿第二定律有得卫星做圆周运动，由牛顿第二定律有联立式得到同理可得故答案：【总结提升】人造卫星问题的解题技巧（1）利用万有引力提供向心力的不同表述形式：（2）解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律.卫星的a、v、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化.a、v、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定【变式备选】（2011天津高考）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动.已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（ ）A.线速度B.角速度C.运行周期D.向心加速度【解析】选A、C月球对探月航天器的万有引力提供探月航天器在月球附近做匀速圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律列方程得 则探月航天器的线速度为 选项A正确.其加速度 选项D错误.又知，在月球附近满足 因此探月航天器的角速度 其周期为 选项B错误，而选项C正确.卫星变轨问题 【例证3】（2012汕头模拟）北京航天飞行控制中心对“嫦娥一号”卫星实施多次变轨控制并获得成功.首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施.“嫦娥一号”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度.同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨.如图为“嫦娥一号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是（ ）A.“嫦娥一号”在轨道1的A点处应点火加速B.“嫦娥一号”在轨道1的A点处的速度比轨道2的A点处的速度大C.“嫦娥一号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大D.“嫦娥一号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大【解题指南】解答本题可按以下思路进行分析和判断：（1）要增大卫星的轨道半径时必须加速.（2）卫星的机械能随轨道半径的增大而增大.【自主解答】选A.卫星要由轨道1变轨为轨道2在A处需做离心运动，应加速使其做圆周运动所需向心力 大于地球所能提供的万有引力 故A项正确、B项错误；由 可知，卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等，C项错误；卫星由轨道1变轨到轨道2，反冲发动机的推力对卫星做正功，卫星的机械能增加，所以卫星在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能小，D项错误.【总结提升】卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由判断.对易错选项及错误原因具体分析如下：易错角度错误原因 易错选B误认为在两轨道上的A点处，由 及r2r1得出v1v2，实际上在不同轨道的同一点必须加速或减速才能实现变轨，若要增大轨道半径，必须增大速度. 易错角度错误原因 易错选C错误选用公式，认为两轨道上的A点处由 和r1a2 ，实际上不同轨道的同一点受力相同，故加速度大小是相同的. 【变式训练】（2012南宁模拟）2011年11月1日清晨5时58分10秒，中国“长征二号”F遥八运载火箭在酒泉卫星发射中心载人航天发射场点火发射，火箭飞行583秒后，将“神舟八号”飞船成功送入预定椭圆轨道.11月3日凌晨由原来的椭圆轨道变为距离地面高度为h（为343 km）的“天宫一号”所在的圆形轨道.已知飞船质量为m,地球半径为R，地面的重力加速度为g,地球自转的角速度为,则下列说法正确的是（ ）A.飞船由椭圆轨道变为圆形轨道时,需要在椭圆轨道的远地点使飞船减速B.飞船做匀速圆周运动时,运行速度大于7.9 km/sC.飞船在圆形轨道上运动时,宇航员将不受重力作用D.飞船在圆形轨道上运动时的动能Ek满足m（R+h）22Ek mg（R+h）【解析】选D.飞船由椭圆轨道变为圆形轨道需要在远地点加速,A错;飞船绕地球做匀速圆周运动时速度的最大值为7.9 km/s,轨道越高速度