第一节 矩阵的特征值和特征向量相似矩阵及二次型一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质三、小结 思考题返回上页下页一、特征值和特征向量的概念则称： 是矩阵 A 的特征值；定义 1 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数 和非零向量 x,使得x 是 A 的对应于(或属于)特征值 的特征向量.返回上页下页(2) 由于 亦可写成齐次线性方程组 说明(1) 特征向量 x O；特征值问题是对方阵而言的；因此，使得 有非零解的 值都是矩 阵 A 的特征值.即，使得 的 值都是矩阵 A 的特征值.返回上页下页定义 2 设 n 阶矩阵 ，记则， 称为 A 的特征多项式；称为 A 的特征矩阵.称为 A 的特征方程；上页下页返回说明( n 阶矩阵 A 的特征多项式)(1) 是 的 n 次多项式，若设其一般形式为则， 的系数 ；的系数 ；常数项 .返回上页下页(2) 求特征值 ，就是求特征方程 的根；(3) 有 n 个根 (其中有些根可能相同)，其中的 k 重根也称为 k 重特征值.(4) 需要注意，即使是 n 阶实矩阵，但其特征方程可 能有复数根，相应的，特征向量也可能是复向量.特征向量 ( 是全体 n 维复向量构成的向量空间)即，一般而言，特征值 (复数域)返回上页下页例 1 求矩阵的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为令 ，得 A 的 3 个特征值： (单重特征值)(二重特征值)返回上页下页将特征值分别代入 ，求出特征向量： 当 时，解方程组 .得基础解系则，对应于 的全部特征向量为 .返回上页下页 当 时，解方程组 .得基础解系于是，对应于 的全部特征向量为如果 A 是 n 阶对角阵或上(下)三角阵，证返回上页下页设对角矩阵 A 的主对角元为 ，上式亦为上(下)三角阵的特征多项式，故有同样结论.则，特征多项式为那么，A 的特征值就是其 n 个主对角元.令 ，可得对角阵的特征值就是其主对角元.返回上页下页前面指出，在特征多项式 中，的系数 ；的系数 ；常数项 .二、特征值和特征向量的性质n 阶矩阵 A 的主对角元之和，称为 A 的迹记作 tr(A).证定理 1 设 n 阶矩阵 的 n 个特征值为 ,则，返回上页下页另外， 是特征方程的根，的系数和特征多项式相同，因此 的系数和常 数项也与特征多项式必相同，即证毕即，的系数 ；常数项 .返回上页下页说明 ，故，若 ，则 A 的特征值全为非零数；若 ，则 A 至少有一个特征值等于零.返回上页下页例 2 已知的 2 个特征值为 ，解求 (1) x, y；(2) ；(3) 的秩.(1)(2) 2 是一个特征值，故(3) 3 不是特征值，即 ， 故是 满秩矩阵， .返回上页下页定理 2 设 都是 A 的属于特征值 的特征向量，证则也是 A 的属于特征值 的特征向量.(其中 k1, k2 为任意常数，但 )说明 A 的属于特征值 0 的全体特征向量是： 的解集中除零向量外的全体解向量 .由于 都是 的解， 因此， 也是 的解.故，当 时，是 A 的属于特征值 的 特征向量. 证毕返回上页下页例 3 求矩阵的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为(单重根)(二重根)令 ，得 A 的 3 个特征值：返回上页下页将特征值分别代入 ，求出特征向量： 当 时，解方程组 .得基础解系则，对应于 的全部特征向量为 .返回上页下页 当 时，解方程组 .得基础解系则，对应于 的全部特征向量为返回上页下页性质 1 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是 A 的属于 0 的 特征向量，则 k0 是 kA 的特征值 (k 是任意常数)； 是 的特征值 (m 是正整数)； 设一个 k 次多项式 ， 则， 是矩阵 A 的 k 次多项式 的特征值； 若 A 可逆，则 是 的特征值；并且， 仍然是以上中这些矩阵的分别属于 特征值 的特征向量. 返回上页下页这里只证明性质，其余留作练习.证继续进行以上步骤 m3 次，得因此， 是 的特征值 ， 是 的对应于特征值 的特征向量. 证毕两端同时左乘 A两端同时左乘 A特征向量总是相对于特征值而言的，一个特征向量 不能同时属于不同的特征值. 说明两式相减由于 ，则有 . 这是不可能的 (与“特征向量是非零向量”矛盾)即假设 同时是属于特征值 1, 2 (12) 的特征向量,返回上页下页返回上页下页例 4 设 是可逆矩阵 A 的一个特征值，求 的一个特征值.解 根据特征值的性质，的特征值是 ;的特征值是 ;的特征值是 ;的特征值是返回上页下页性质 2 A 和 AT 的特征值相同 (即特征多项式相同).证因此， A 和 AT 有完全相同的特征多项式. 证毕说明 A 和 AT 的特征向量不一定相同.例如， 皆有二重特征值 ，但它们相应的特征向量分别为返回上页下页定理 3 矩阵 A 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.证令设 是 A 的 m 个互异的特征值，是属于各特征值的特征向量.若记下面将证明：只有当线性组合系数 ki 全部为零时才 能使上式成立，即， 线性无关.上式变为返回上页下页其中的 有两种可能性：(ii) 属于特征值 的特征向量(如果 )(i) 零向量 (如果 )不论哪种情况，皆有 对式两端同时左乘 A，得AAA即 对再左乘 A，如此重复下去，共 m1 次，最后有返回上页下页 以上 m 个等式可合写成矩阵等式：返回上页下页因此， 是可逆矩阵.行列式由于特征值 各不相同，所以行列式的值不等于零.（范德蒙行列式的转置)返回上页下页(可逆矩阵)两端右乘该可逆矩阵其中特征向量 ，所以必有 .即， .因此，若 成立，线性组 合系数必全为零( 即 线性无关). 证毕返回上页下页定理 5* 设 A 有 m 个不同的特征值: ，属 于 的线性无关的特征向量有 ri 个 .那么，所有这些向量 (共 个) 构成的向量 组是线性无关的.定理 4* 矩阵 A 的属于 k 重特征值的线性无关的特征 向量的最大个数不超过 k .证明参见证明参见即，如果 是矩阵 A 的一个 k 重特征值，属于 的 线性无关的特征向量的最大个数为 l，则 l k .附录 1附录 2返回上页下页四、小结1. 求 n 阶矩阵 A 的特征值和特征向量的步骤：(1) 求矩阵A 的特征多项式 ；(2) 求特征方程 的 n 个根，就是 A 的全部特征值；(3) 对特征值 ，解非齐次线性方程组它的所有非零解都是对应于 的特征向量. 2. 特征值和特征向量的 2 个性质，5 个定理.返回上页下页设 A 为 4 阶矩阵，已知：思考题求：A 的伴随矩阵 A* 的一个特征值.返回上页下页思考题解答由于 ，因此 A 是可逆矩阵.于是，如果 A 的一个特征值为 ，根据特征值的性 质，A* 的一个特征值为 .故，A* 的一个特征值为返回上页下页证附录 1用反证法，假设 l k . 定理 如果 是 n 阶矩阵 A 的一个 k 重特征值，则， 属于 的线性无关的特征向量的最大个数 l k .设属于 k 重特征值 的 l 个线性无关的特征向量为即 返回上页下页新增的 一般不是 A 的特征向量，但 Aj (是 n 维向量)可以用上述的这组基线性表示： l+1n将 扩充为 n 维复向量空间 Kn 的一组基：A(