万有引力定律考题的分类解析 w 一、讨论重力加速度g 随离地面高度h的变化 情况。 w 物体的重力近似为地 球对物体的引力，即 mg=G。 w 所以重力加速度 w g= G ， w 可见，g随h的增大而 减小。w 例1：设地球表面的重力加 速度为g,物体在距地心4R （R是地球半径）处，由 于地球的引力作用而产生 的重力加速度g,， w 则g/g,为 w A、1； B、1/9； w C、1/4；D、1/16。 w 解析：因为g= G , w g, = G , w 所以g/g,=1/16,即D选项正 确。 二、求天体的质量。w 通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M。 例2：已知地球绕太阳公转的轨道半径 r=1.491011m, 公转的周期T=3.16107s,求太阳的质 量M。 w 解析：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源 于万有引力得： w G =mr(2/T)2 w M=42r3/GT2=1.96 1030kg.二、求天体的质量 w 例3： 宇航员在一星球表 面上的某高处，沿水平方 向抛出一小球。经过时间 t，小球落到星球表面， 测得抛出点与落地点之间 的距离为L。若抛出时初 速度增大到2倍，则抛出 点与落地点之间的距离为 L。已知两落地点在同一 水平面上，该星球的半径 为R，万有引力常数为G 。求该星球的质量M。 w （98年高考试题）w 解析：设抛出点的高度为h,第一次平 抛的水平射程为x,则有 x2+h2=L2 (1) w 由平抛运动规律得知，当初速度增大 到2倍时，其水平射程也增大到2x,可 得 w （2x）2+h2=(L)2 (2) w 设该星球上的重力加速度为g，由平抛 运动的规律得： w h= gt2 (3)w 由万有引力定律与牛顿第二定律得g= G (4) w 联立（1）、（2）、（3）、（4）式 解得M= 。三、求卫星的高度 w 例4：已知地球半径约为 R=6.4106m,又知月球绕地球的 运动可近似看作匀速圆周运动 ，则可估算出月球到地球的距 离约为 m.(结果只保留一 位有效数字)（97年高考试题）。解析：因为mg= G ， 而 w G =mr(2/T)2 w 所以，r= =4108m.w 例5：已知地球的半径为R，自 转角速度为，地球表面的重力 加速度为g，在赤道上空一颗 相对地球静止的同步卫星离地 面的高度是 （用以上三个 量表示）（90年上海高考试题 ） w 解析：因为mg= G ， w 而G =m（R+h） 2 w 所以，h= -R.例6：地球的同步卫星离地心的距离r可由r3= 求出。 已知式中a的单位是m，b的单位是s,c的单位是m/s2,则 A、a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面 处的重力加速度。 B、a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度。 C、a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星 的加速度。 D、a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度。（99年高考试题） 显然，选项（A、D）正确。四、计算天体的平均密度 w通过观测天体表面运动卫星的周 期T，就可以求出天体的密度 。 w例7：如果某行星有一颗卫星沿非 常靠近此恒星的表面做匀速圆周 运动的周期为T，则可估算此恒星 的密度为多少? w解析：设此恒星的半径为R，质量 为M，由于卫星做匀速圆周运动 ，则有 G =mR , 所 以， wM= w而恒星的体积V= R3，所以w恒星的密度= = 。w例8：一均匀球体以角速度绕自己 的对称轴自转，若维持球体不被瓦 解的唯一作用力是万有引力，则此 球的最小密度是多少？ w解析：设球体质量为M，半径为R， 设想有一质量为m的质点绕此球体 表面附近做匀速圆周运动，则 wG =m02R, 所以，w02= G。w由于0得2 G，w则 ， w即此球的最小密度为 。w 例9：两颗人造地球卫星都在圆 形轨道上运行，它们的质量相 等，轨道半径之比=2,则它们的 动能之比等于 w A、2；B、 ；C、 ； D、4 w （92年高考试题） w 显然选项（C）正确。w 例10：两颗人造卫星A、B 绕地球作圆周运动，周期之 比为TA：TB=1：8，则轨道 半径之比和运动速率之比分 别为： wA、RA：RB=4：1；VA：VB=1：2。 wB、RA：RB=4：1；VA：VB=2：1 wC、RA：RB=1：4；VA：VB=1：2。 D、RA：RB=1：4；VA：VB=2：1 w（95年高考试题） w显然选项（D）正确。六、推导恒量关系式。 例11：行星的平均密度是 ，靠近行星表面的卫星运转周期是T， 试证明： T2是一个常量，即对任何行星都相同。证明：因为行星的质量M= （R是行星的半径），行星的体积 V= R3，所以行星的平均密度= = ， 即 T2= ，是一个常量，对任何行星都相同。 例12：设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T，试证明： 是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。 证明：由G= =mr(2/T)2 得 = ，即对于同一天体的所有卫星来说， 均相等。