第八节 曲线与方程(理)主干知识梳理一、曲线与方程在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：1曲线上点的坐标都是；2以这个方程的解为坐标的点都是那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线这个方程的解曲线上的点二、求动点的轨迹方程的一般步骤1建系建立适当的坐标系；2设点设轨迹上的任一点P(x，y)；3列式列出动点P所满足的关系式；4代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；5证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程基础自测自评1(教材习题改编)方程x2xyx表示的曲线是( )A一个点 B一条直线C两条直线 D一个点和一条直线C 方程变为x(xy1)0，则x0或xy10，故方程表示直线x0和直线xy10.2已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50D 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30得2xy50.3(教材习题改编)若点P到直线x1的距离比它到点(2，0)的距离小1.则点P的轨迹为( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线D 依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2，0)的距离，故点P的轨迹是抛物线5一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一点，点A在圆周上把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点，当A点运动时，点P的轨迹是_解析 由条件知折痕CD垂直平分AQ，故|PQ|PO|PA|PO|OA|OQ|，故点P的轨迹是以O，Q为焦点的椭圆答案 椭圆关键要点点拨1曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响2求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程直接法求轨迹方程 规律方法直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性典题导入(2014海淀模拟)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是( )A圆 B椭圆C双曲线的一支 D直线定义法求轨迹方程 听课记录 如图1，令定点A为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点，故|AM|MP|，此时M的轨迹为一个圆，圆心为A，半径为AM，故A可能如图2，以F1为定圆的圆心，图1|F1P|为其半径，在F1P上截|MP|MA|，|PF1|r，|MF1|PM|MF1|MA|r|F1A|，由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的椭圆，故B可能图2如图3，以F1为定圆的圆心，|F1P|为其半径，延长F1P到点M，使得|MP|MA|，则有|MF1|PM|r，|MF1|MA|r|F1A|，由双曲线的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的双曲线的右支，故C可能图3如图4，定点A在定圆F上，则满足题意的点M的轨迹是以F为端点的一条射线，故D不可能答案 D图4规律方法1运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程2定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况利用条件把待定系数求出来，使问题得解代入法求轨迹方程 规律方法代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只需将P的坐标转移到Q的方程中，整理即可得P的轨迹方程 【思路导析】 (1)利用椭圆的定义求a；(2)分直线l与x轴垂直和不垂直两种情况求解直线l与x轴不垂直时，借助于一元二次方程根与系数的关系及消参法等知识求轨迹方程【高手支招】 参数法是指先引入一个中间变量(参数)，使所求动点的横、纵坐标x、y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x，y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程体验高考(2013新课标全国卷高考)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.课时作业