高三总复习 数学 (大纲版)高三总复习 数学 (大纲版)高三总复习 数学 (大纲版)考纲预览1.掌握分类计 数原理与分步计 数原理，理解排 列、组合的意义 ，掌握排列数、 组合数计算公式 和组合数的性质 ，并能用它们分 析和解决一些简 单的应用问题 2掌握二项 式定理和二项展 开式的性质，并 能用它们计算和 证明一些简单 的问题高三总复习 数学 (大纲版)命题探究排列组合、二 项式定理是每年 高考必定考查的 内容之一，纵观 全国高考数学试 题，每年都有1 2道排列组合 题，考查排列 组合的基础知 识、思维能力， 多数试题难 度 与课本中习题 的难度相当，但 也有些试题难 度较大，考查理 解问题的能力、 分析解决问题的 能力及分类讨 论的思想，有些 试题以应用题 的形式出现考查 解决实际问题 的能力每年都 有一道有关二项 式定理的试题， 着重考查二项式 的展开式及其通 项，难度与课 本习题的难度 相当，有关排列 、组合、二项式 定理的试题的 题型，一般为 选择题 或填空 题.高三总复习 数学 (大纲版)第一节 两个计数原理高三总复习 数学 (大纲版)高三总复习 数学 (大纲版)考纲要求1.理解分类计数原理和分步计数原理 2会用分类计数原理和分步计数原理 解决一些简单的实际问题 考试热点计数原理在中学数学中形式比较独特， 与其他数学知识截然不同，不仅内容 抽象，解法灵活，而且解题过程极易 出现“重复”或“遗漏”的错误纵观近 几年的高考，对本节内容考查比较稳 定，试题难 度起伏不大，主要以选择 题、填空题的形式出现.高三总复习 数学 (大纲版)高三总复习 数学 (大纲版)1分类计数原理、分步计数原理(1)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法(m1m2mn)高三总复习 数学 (大纲版)(2)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法2分类计数原理与分步计数原理，都有涉及 的不同方法的种数它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法 ，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤 ，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成m1m2mn完成一件事相互独立相互依存高三总复习 数学 (大纲版)14封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是 ( )A34 B43高三总复习 数学 (大纲版)解析：第n封信有3种投法(n1,2,3,4)，根据分步计数原理4封不同的信投入三个不同的信箱共有333334种投法答案：A高三总复习 数学 (大纲版)24人去借三本不同的书(全部借完)，所有借法的种数是 ( )A34 B43解析：第n本书有4种借法(n1,2,3)，根据分步计数原理4人去借三本不同的书(全部借完)共有44443种借法答案：B高三总复习 数学 (大纲版)答案：8高三总复习 数学 (大纲版)4有8本书其中有2本相同的数学书，3本相同的语文书，其余3本为不同的书籍，一人去借，且至少借一本的借法有_种解析：数学书的本数可以是0,1,2三种；语文书的本数可以是0,1,2,3四种，其余3本书每本都有两种取法，由分步计数原理共有34222195种借法答案：95高三总复习 数学 (大纲版)5由nn个边长为 1的小正方形拼成的正方形棋盘中，求由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目高三总复习 数学 (大纲版)解：如图1，根据分步计数原理，边长为k(1kn，kN*)的正方形共有(nk1)(nk1)(nk1)2个；由分类计数原理，图形中所有正方形的数目是n2(n1)2(n2)22212 n(n1)(2n1)个高三总复习 数学 (大纲版)高三总复习 数学 (大纲版)分类计数原理的应用例1 高三(1)班有学生50人，男30人，女20人；高三(2)班有学生60人，男30人，女30人；高三(3)班有学生55人，男35人，女20人(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选，有多少种不同的选法？分析 具备分类计数原理的条件高三总复习 数学 (大纲版)解 (1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法；从高三(2)班60人中选一人有60种选法；同理，从高三(3)班中选一人有55种选法，共有506055165(种)(2)从高三(1)、(2)班男生中选有303060(种)，从高三(3)班女生中选有20种，共有30302080(种)拓展提升 运用分类计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间有独立性与并列性高三总复习 数学 (大纲版)把单位正方体的六个面分别染上6种颜色，并画上只数不同的玉狗，各面的颜色与玉狗的只数对应如下表取同样的4个上述的单位正方体，拼成一个如图2所示的水平放置的长方体，则这个长方体的下底面总计共画有玉狗的只数为 ( )高三总复习 数学 (大纲版)A15 B16C17 D18面上所染颜色红黄蓝青紫绿该面上的玉狗只数123456高三总复习 数学 (大纲版)解析：如图3，设面BCC1B1为红颜色，则面ABCD为蓝颜色，面CC1D1D为紫颜色，面DAA1D1为绿颜色，面AA1B1B为黄颜色，面A1B1C1D1为青颜色，互相对立的面(蓝青)、(黄紫)、(红绿)，故图中4个正方体的下底面分别为紫，黄，绿，青，再根据表即可得玉狗的只数 为526417.答案：C高三总复习 数学 (大纲版)分步计数原理的应用例2 现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？分析 该问题是计数问题，完成的一件事是排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行高三总复习 数学 (大纲版)解 先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四、五两天均各有4种排法由分步计数原理可得值班表共有不同排法数为：544441280种拓展提升 解决问题时，理清思路，按事件发生的过程合理分步高三总复习 数学 (大纲版)安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)解析：“都不”：用乘法原理，把3、4、5、6、7五天“拿出来”，先让甲选值班日期，有5种选法；接下来让乙选值班日期，有4种选法再接下来5名工作人员任意排，有120种排法综合以上分析，不同的安排办法共有2400种答案：2400高三总复习 数学 (大纲版)两个原理的综合应用例3 如图4，用6种不同的颜色给右图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_种(用数字作答)高三总复习 数学 (大纲版)解法一 将4个区域标上数字1,2,3,4.先对区域1涂色，有6种方法，再对区域2涂色有5种方法，3与1同色，4与2可以同色也可以不同色，不同涂色方法有65(14)150种；3与1不同色，4只能与2或者1同色，不同涂色方法有654(11)240种，涂色方案共有150240390种高三总复习 数学 (大纲版)答案 390高三总复习 数学 (大纲版)中央电视台“开心辞典”节目的现场观 众来自四个不同的单位，分别在图中的A、B、C、D四个区域落座现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，则不同的着装方法共有多少种？高三总复习 数学 (大纲版)解：当A、B、C、D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有432124种不同的方法；当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A、C同色时，或B区、D区同色，A区、C区不同色且不与B、D同色时，有243248种不同的方法；当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A、C同色时，有4312种不同的方法由分类计数原理知共有24481284种不同的着装方法高三总复习 数学 (大纲版)例4 (2009全国卷)甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰好有1名女同学的不同选法共有 ( )A150种 B180种C300种 D345种高三总复习 数学 (大纲版)解析 分两类：(1)甲组中选出1名女生有CCC225(种)选法；(2)乙组中选出1名女生有CCC120(种)选法故共有345种选法故选D.答案 D高三总复习 数学 (大纲版)拓展提升 解决计数问题的基本思想就是先对问题进行分类，在每个类中再进行分步，根据乘法原理计算各个类的数目，最后根据加法原理计算总的数目高三总复习 数学 (大纲版)若集合A1、A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一个拆分，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种拆分，则集合Aa1，a2，a3的不同拆分的种数为 ( )A8 B9C26 D27高三总复习 数学 (大纲版)解析：集合A的子集为，a1，a2，a3，a1，a2，a1，a3a2，a3，a1，a2，a3共8个，按A1可从8个子集中任意取值，则相应的A2的取值情况列表如下：高三总复习 数学 (大纲版)A1取值a1a2a3A2a1，a2 ，a3a2，a3， a1，a2， a3a1，a3 ， a1，a2， a3a1，a2， a1，a2，a3A1 取值a1，a2a1，a3a2，a3a1，a2，a3A2a3， a1，a3 a2，a3 a1，a2 ，a3a2， a1，a2 a2，a3 a1，a2， a3a1， a1，a2 ， a1，a3 a1，a2， a3，a1， a2，a3， a1，a2， a1，a3 a2，a3 a1，a2，a3高三总复习 数学 (大纲版)上表中对应的A2共有27个，即有27种拆分答案：D高三总复习 数学 (大纲版)高三总复习 数学 (大纲版)1对“分类”与“分步”的理