第三章 量子力学初步3.1 物质的二象性; 3.2 Schrdinger方程； 3.3 简谐振子； 3.4 量子力学对氢原子的描述13.1 物质的二象性原子结构用电子轨道运动来描述在原子物理的发展过程 中是一个重要的成就，但也存在局限性。20世纪初逐步发展 起来的量子力学对原子问题的处理开辟了一个新的途径。 1924年L.de Broglie从光的二象性推断微粒的波动性，在此 基础上，E. Schrdinger和W.Heisenberg分别独立提出了 关于微观粒子运动的波动力学和矩阵力学，而且两者的结果 相同。现在的量子力学融合了他们两人以及其他许多人的贡 献，成为微观体系的基本理论。本章初步介绍量子力学的概念、方法以及他对但电子原 子的描述。2一、物质的二象性光的波动性表现在：光的干涉、衍射和偏振等现象。光的粒子性表现在：黑体辐射、光电效应以及光的直 线传播等现象。光不仅具有波动性，同时具有粒子性，或者说，光是由 微粒光子组成的，每一个光子都对应着一定的能量、质量和 动量： 光子能量：光子质量：光子动量：1. 光的二象性从上面公式可以看出：光既有波动性，又有粒子性，我们称 这种特性为光的二象性。3L.de Broglie认为，既然光在某些情况下具有波动性，而 在另外一些情况下又具有粒子性，那么实物粒子也应具有二 象性。这样，公式2.微粒的波动性应成立。公式的左边物理量表征粒子性，右边的物理量表征 波动性。同实物粒子联系着的波称为de Broglie波或“物质波”。自学内容（如下）。3. de Broglie波的实验验证4二、测不准原理在经典力学中，粒子的位置和动量（或速度）、能量和 时间是可以同时精确测量的；而在量子力学中不可能同时精 确测量，即不可能在某个确定地点精确测量出粒子的动量。设粒子位置的不确定度为x，动量不确定度为p ，则 有这一关系称为测不准关系。这一关系可以通过电子衍射实验 进行验证。由于狭缝有一定的宽度q，在垂直于入射方向的方向 上产生了一个动量p：5对于能量E和时间t的测不准关系为：6上式表明：在某一确定时刻准确测量体系的能量是不可能的。一般 来说，体系具有多个可能状态，不同的状态一般具有不同的 能量（非简并），体系在什么时间处于何种状态是不确定的 ，我们实际测量的值是某一段时间内的平均值。不确定关系有：7三、波函数及其物理意义（1）弹性波表示弹性物质的位移：对于横波，y表示t时刻的横向距离，对纵向波则表示t时刻的 纵向位移。（2）电磁波表示电场或磁场的变化：1. 经典波的物理意义而电磁波的强度（光强）：8写成复数形式：考虑到关系式，则有：2. 物质波的物理意义由一个自由粒子组成的物质波可以用单色平面波表示：9(a) 波是基本的，粒子是由许多波组合而成的一个波包 ，波包的速度就是粒子的速度，波包的运动表现出粒子的 性质。但是，由于波包是不同频率的波组成的，不同频率的 波在煤质中的速度不同，因而这样的波包在煤质中运动时 就会逐渐扩散而消失；同时，波存在折射和反射，而粒子 是不可分的。显然，这种解释不正确。上式就是物质波的波函数。历史上对物质波的解释有多种， 其中三种主要的解释如下：10(c) 波函数的统计解释M.Born提出了物质波的统计意义。他认为，波函数代 表发现粒子的几率，这是每个粒子在他所处环境中所具有 的性质。如果有大量粒子，那么在某处粒子的密度与在此处发 现一个粒子的几率成正比。对于光波，光的强度同光子的数目成正比，而在某处 的光子数同该处发现一个光子的几率成正比，即 (b) 粒子是基本的，波只是大量粒子分布密度的变化。 这与实验不符。电子实验说明，当大量粒子通过狭缝时可 呈现出干涉图样；同样由很少的电子通过狭缝、但经过很 长时间后，仍可显现干涉图样。显然，波动现象不是和大量粒子同时存在相联系的， 波动是每个粒子所具有的特性。本解释不正确。11其中，表示单位体积中发现一个粒子的几率几率密度。类比，对于其他物质波，我们可以体积d中发现一个粒 子的几率表达为而光的强弱同光波的电场E或磁场强度H的平方成正比，因 此，123. 波函数的标准条件(1) 连续性：粒子在空间出现的几率不能出现突变的情 况，因此波函数必须在全空间中连续；(2) 单值性：某时刻粒子在空间出现的几率是一定的， 因此波函数必须是单值函数；(3) 有限性：粒子在空间任何地方出现的几率必须是有 限的；(4)* 归一化：粒子在全空间出现的几率为1，即13【例】Bohr 量子化条件符合波函数的单值性。一个电子在Bohr轨道中 运动同这电子的de Broglie 波沿轨道传播相联系。对一 个可能的轨道，波函数必须 是单值的，这就要求轨道的 一周等于波长的整数倍：同样可以证明，可能的椭圆轨道一周也等于de Broglie 波长的整数倍。143.2 Schrdinger方程经典力学中，宏观粒子的运动都遵循一个基本定律 Newton运动定律。以后我们可到，微观体系的状态是用波 函数描述的，但一个势场中的波函数的具体形式势什么，这 个波函数又是如何随时间变化的？因此量子力学中也应该有 一个相应的基本方程来描述体系波函数的变化。这个基本方 程就是Schrdinger方程。Schrdinger方程是量子力学中 的一个基本假设，不能从更基本的假设中推导出来。15若取体系的波函数为复数形式，则可构建如下形式的 Schrdinger方程：一、 Schrdinger方程的提出其中，m是粒子的质量，V是体系的势能，而Laplace算符为1. 算符(1) Harmiltonian。将Sch.方程写成以下形式：16显然两者都有能量单位，称为能量算符，通常也称为哈密顿 量（ Harmiltonian ）。(2) 动量算符自由粒子波函数对x、y、z求导，17注意：算符是作用于波函数的算子，它不能单独存在，只有 与波函数作用才有意义。182. 定态Sch.方程和本征值(1) 定态：定态是指体系能量不随时间t变化的状态。对 于定态，体系在初始时刻处于某态，若无外界作用，则它一 致处于此态。定态对应的势函数只是位置的函数，即(2)定态Sch.方程：由于Harmiltonian不显含时间t，可以 用分离变量法求解。令代入到Sch.方程中，得到19上式左边是r的函数，右边是t的函数，要等式成立，它们必须 等于一个常数，即体系波函数可以写成：（定态Sch.方程）20(3)讨论：应用定态Sch.方程解题的条件是：由定态Sch.方程求出定态波函数，然后代入到上式即可获 得体系的波函数。应用定态Sch.方程和波函数的三个标准条件，可以求出 定态波函数和能量E（本征能量值，不随时间变化），即波函数标准条件体系的波函数为21波函数的归一化问题。由于所以只要求对定态波函数归一化即可。体系的几率密度。由于对定态体系，几率密度是不随时间变化的。22这里我们作为一个实例，考 查一维无限深势阱中的波函数 和本征能量。一个粒子在两个无限高势壁 间运动。粒子在势壁间的势能 为0，在壁外的势能为无限大， 求解体系的波函数和能量。二、 一维无限深势阱【分析】由于V=0或 ，显然与t无关，属于定态问题， 于是可以应用定态Sch.方程求解。【解】下面分四个步骤求解这一问题。（a）根据定义列出Sch.方程或定态Sch.方程。23（b）求定态Sch.方程的通解。在I区：令则(1)式变为24在II区：(2)式写为考虑到V，而波函数是有限的，因此（c）应用波函数条件确定波函数和本征值。因波函数应是连续的，则有或25考虑到波函数不能恒等于0，因此A、B不能同时为0，于是若A 0，则若B 0，则(5)式和(6)式可以联合写成：26将(7)式代入k和(3)式，可得到本征值和本征函数：或者27（d）波函数的归一化。应用波函数归一化公式，对(9)式子进行归一化处理，求出 A或B。（9）式28三、宇称关于原点对称的波函数（偶函数）称为偶宇称；反之，关 于原点反对称的波函数（奇函数）称为奇宇称。 思考题：一个粒子在如图所示的两个 无限高势壁间运动，求解体系 的波函数和能量。293.3 简谐振子简谐振子是物理学经常遇到的一个典型模型，物质结构中 原子和分子的振动均可视为简谐运动。经典物理学对简谐振子的定义为：作简谐运动的物体受到 的力与他的位移x成正比，而他的方向与位移方向相反，即作简谐运动的体系的势能等于弹性力所作的功，体系的Harmiltonian为30一、简谐系统的本征能量和波函数 体系的Sch.方程如下为简化起见，令则Sch.方程可变为31这个方程的求解过程比较复杂，其基本思路是：先求方 程的渐进解，根据渐进解的形式化简方程；然后采用级数解 法求解，并利用波函数的有限性将级数截断。最终的解为Hermite多项式：归一化常数：32二、波函数的具体形式33三、讨论(1) 宇称性显然，n的奇偶性决定了波函数的宇称的奇偶性。(2) 基态34可以看出，在x=0处找到谐振子的几率最大。而按经典力学，谐振子在x=0处，V最小，Ek最大，其速 度最大，于是在此处停留的时间最短。因此在此处找到粒子 的概率最小。这与量子力学的结论相反。同时，按照经典理论，粒子只能限制在|x |1范围内运动 。而量子论认为，粒子可以在此范围外的区域内出现。353.4 量子力学对氢原子的描述在氢原子中，电子绕核的库仑场运动，体系的势能与时 间无关，可以求出定态波函数。1. 波函数体系的势能为定态Sch.方程可写为采用极坐标表示后，写为36采用分离变量法求解。解的形式可写为其中，37而，（主量子数）（角量子数）（磁量子数）式中，L(r)和P(cos )分别为连带Lagurre多项式和连带Legen -dre多项式。382.能量和角动量（1）能量。由波函数的标准条件（有限性）可以推出：（2）角动量。由角动量的表达式不难得到角动量平方的极坐标表达式：39容易验证：显然，是角动量平方的本征函数；而的本征值就是L。另外，40可以看出，是z分量角动量算符的本征函数，本征值为对于每一个l值，有2l+1个m值，它说 明总角动量在z轴上的投影值有2l+1个， 如图所示。作业：P114，6、7、841