第五节第五节 传递函数传递函数 传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。 它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中 所遇到的元件、部件或系统用典型环节表示出来。 引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象 地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系 ，并使运算可以大为简化 。一一. .传递函数的概念传递函数的概念 线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件 为零时（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为 0），输出量y(t)的拉氏变换Y(s)与输入量x(t)的拉氏 变换X(s)之比叫做系统的传递函数G(s)。 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描述系 统的微分方程的一般形式为 : （2-562-56） 式中，nm; an,bm均为系统结构参数所决定的定常 数 。（n，m=0、1、2、3） 如果变量及其各阶导数初值为零如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉，取等式两边拉 氏变换后得氏变换后得 （2-572-57） 根据传递函数的定义，系统的传递函数G(s)为 (2-58)(2-58) 特征方程X(s)=0 系统的特征方程， 特征根。特征方程决定着系统的动态特性。X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。当s=0时 系统的放大系数或增益！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导 数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输 入的比值。零点和极点的根，称为传递函数的零点；的根，称为传递函数的极点；！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！零、极点分布图传递函数的零、极点 分布图：将传递函数的零、极 点表示在复平面上的 图形。零点用“O”表示极点用“”表示u 传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了 系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n 阶系统。 结论u 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输 入输出特性来描述系统的内部特性。若输 入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。 u 传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参 数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的 输入形式无关。注意u 适用于线性定常系统u 只适合于单输入单输出系统的描述u 无法描述系统内部中间变量的变化情况u 传递函数原则上不能反映系统在非零初 始条件下的全部运动规律u 传递函数中的各项系数和相应微分方程 中的各项系数对应相等，完全取决于系统结 构参数例例2-172-17试写出具有下述微分方程式的传递函数。试写出具有下述微分方程式的传递函数。 （）（） （）（）解：按（解：按（2-582-58）式，则传递函数为）式，则传递函数为 （）（）（）（）二二. .典型环节的传递函数典型环节的传递函数 设系统有 b个实零点;d 个实极点; c 对复零点; e对复极点; v个零极点。b+2c = m v+d+2e = n把对应于实数零点把对应于实数零点z zi i和实数极点和实数极点p pj j的因式变换成的因式变换成 ： 式中式中把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成： 式中式中而而式中式中！串联比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节二阶振荡环节理想微分环节延迟环节系统传递函数一般形式可以写成：系统传递函数一般形式可以写成： u 环节是根据微分方程划分的，不是具体 的物理装置或元件u 一个环节往往由几个元件之间的运动特 性共同组成u 同一元件在不同系统中作用不同，输入 输出的物理量不同，可起到不同环节的作 用1. 1.比例环节比例环节 比例环节的微分方程式为比例环节的微分方程式为 （2-592-59） 则传递函数为则传递函数为 （2-602-60） 式中k比例系数 这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的 输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移 和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入 转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号 的关系等 表表2-22-2常见的比例环节常见的比例环节2. 2.积分环节积分环节 积分环节的微分方程为积分环节的微分方程为 （2-61） 传递函数为 （2-62） 具有上式传递函数的环节，称为具有上式传递函数的环节，称为积分环节积分环节。 积分环节很多，仅举几个例子加以说明。积分环节很多，仅举几个例子加以说明。 例2-18 如图2-12所示的油缸，其输入为流量q,输出 为油缸活塞的位移x,试写出其传递函数。 图图2-122-12 液压积分环节 液压积分环节 解：活塞的速度为解：活塞的速度为 所以位移 所以位移 （2-632-63） 式中式中A A活塞的面积活塞的面积 对式（对式（2-582-58）取拉氏变换，并）取拉氏变换，并 整理，则得其传递函数为整理，则得其传递函数为 ：（2-64） 注意：注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来 说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统 而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与输入量与 输出量输出量后的传递函数而定。后的传递函数而定。 例2-19 如图2-13的无源网络，输入量为回路电流i, 而输出量为uc，试写出其传递函数。 图图2-132-13 电气积分环节 电气积分环节 解：电容器充电电流解：电容器充电电流i i与电容器两端的电压与电容器两端的电压u uc c关系为关系为 （2-652-65） 对式（对式（2-652-65）进行拉氏进行拉氏 变换得变换得传递函数为传递函数为 （2-662-66） 3. 3.惯性环节惯性环节 （2-672-67） （2-682-68） 惯性系统的传递函数是惯性系统的传递函数是式中，式中，y y为输出量；为输出量；x x为输入量。对上式进行拉氏为输入量。对上式进行拉氏 变换得：变换得：惯性环节的微分方程是惯性环节的微分方程是式中，式中，T T 为时间常数。为时间常数。例例2-202-20 如图如图2-142-14所示的无源网络，当输入电压所示的无源网络，当输入电压u ui i( (t t) )输出电压输出电压u uo o( (t t), ),试写出其传递函数。试写出其传递函数。 图图2-142-14 电气惯性系统 电气惯性系统 ui(t)uo(t)RCi解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到 ：（2-692-69） （2-702-70） 由（由（2-702-70）式得）式得 （2-712-71）将将( ( 2-702-70）、（）、（2-712-71）代入（）代入（2-692-69）式，且两边取）式，且两边取 拉氏变换，得到拉氏变换，得到 （2-722-72） 式中式中 例例2-212-21 设有一个液压缸如图设有一个液压缸如图2-152-15 所示，它带动具所示，它带动具 有弹性系数为有弹性系数为k k的弹性负载和阻尼系数为的弹性负载和阻尼系数为f fc c的阻尼的阻尼 负载。试求以压力负载。试求以压力p p为输入量，与以活塞位移为输入量，与以活塞位移x x为为 输出量的传递函数。输出量的传递函数。 图图2-152-15 油缸负载系统 油缸负载系统 解：液压缸的作用力解：液压缸的作用力F F （2-732-73）式中式中p p进油压力进油压力 A A液压缸工作面积液压缸工作面积 该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即 （2-742-74）式中式中x x 液压缸输出位移液压缸输出位移 f fc c阻尼系数阻尼系数 K K 弹簧刚度弹簧刚度 合并式（合并式（2-732-73）与式（）与式（2-742-74），得液压缸的运），得液压缸的运 动方程式：动方程式： （2-752-75）传递函数为传递函数为 （2-762-76） 式中式中 4. 4.微分环节微分环节 （2-77） 一阶微分环节 理想微分环节（2-78） 二阶微分环节二阶微分环节（2-79）式中，式中，T T为常数；为常数； 为阻尼比。为阻尼比。对应于上面微分方程式的传递函数分别为 理想微分环节 （2-80） 一阶微分环节 （2-81） 二阶微分环节二阶微分环节（2-82）其中，若其中，若 具有实根时，（具有实根时，（2 2 -79-79）、（、（2-822-82）所描述的环节就不是二阶微分环）所描述的环节就不是二阶微分环 节，它实际上是两个一阶微分环节的串联。节，它实际上是两个一阶微分环节的串联。例2-22如图所示的电气环节，输入电压ui(t),输出 电压为uo(t)，试写出其传递函数。 图2-16 电气微分环节 解：按基尔霍夫定律建立回路解：按基尔霍夫定律建立回路 电压方程式得到电压方程式得到 经拉氏变换后，整理，可 得传递函数为 （2-832-83） 式中式中 如果RC很小，式（2-83）可以近似写成G(s)=Ts。可 以把图2-16所示的RC电路看成理想微分环节。5. 5.振荡环节振荡环节 其微分方程式为（2-84） 传递函数为 （2-85） 在图2-2所示的机械系统可以看作这种环节。 对于平移机械系统，微分方程式为：（2-862-86） 其传递函数为其传递函数为 6 6、延迟环节、延迟环节 输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延 迟环节。 微分方程为 传递函数为传递函数为 （2-872-87） 实际上，任何线性系统都可由实际上，任何线性系统都可由8 8种（或其中若干种）种（或其中若干种） 典型环节构成，这典型环节构成，这8 8种典型环节的传递函数如下：种典型环节的传递函数如下：1 1、放大环节（或比例环节）、放大环节（或比例环节） 2 2、理想微分环节、理想微分环节3 3、一阶微分环节、一阶微分环节4 4、二阶微分环节、二阶微分环节5 5、积分环节、积分环节6 6、惯性环节、惯性环节7 7、振荡环节、振荡环节8 8、延迟环节、延迟环节第六节第六节 框图及其应用框图及其应用 框图是系统中各个元件功能和信号流向的图框图是系统中各个元件功能和信号流向的图 解表示。用框图表示系统的优点是，只要依解表示。用框图表示系统的优点是，只要依 据信号的流向，将各环节的框图连接起来，据信号的流向，将各环节的框图连接起来， 就能容易地构成整个系统；通过框图可以评就能容易地构成整个系统；通过框图可以评 价每一个环节对系统性能的影响，便于对系价每一个环节对系统性能的影响，便于对系 统进行分析和研究。框图和传递函数表达式统进行分析和研究。框图和传递函数表达式 一样包含了与系统动态性能有关的信息，但一样包含了与系统动态性能有关的信息，但 和系统的物理结构无关。因此，和系统的物理结构无关。因此，不同的物理不同的物理 系统，可以用同一框图表示系统，可以用同一框图表示；另外，由于分；另外，由于分 析角度的不同，对于同一系统，可以画出许析角度的不同，对于同一系统，可以画出许 多不同的框图。多不同的框图。 结构框图结构框图将系统中各元件的将系统中各元件的名称或功用名称或功用写在写在框框图单元图单元 中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向中，并标明它们之间的连接顺序和信号