1第一章数学模型概述第一章数学模型概述1.0 对数学的认识对数学的认识1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模1.0 对数学的认识对数学的认识 什么是数学什么是数学 数学的应用数学的应用 数学建模课程数学建模课程数学是上帝用来书写宇宙的文字数学是上帝用来书写宇宙的文字。 伽利略数学是理解世界的方法数学是理解世界的方法，数学是数学是 万物的度量。万物的度量。毕达哥拉斯上帝亲手做过的事情，只有通过上帝亲手做过的事情，只有通过 数学才能理解。数学才能理解。开普勒宇宙之大，粒子之微，火箭之速，宇宙之大，粒子之微，火箭之速， 地球之变，生物之迷，日用之繁地球之变，生物之迷，日用之繁, 无一能离开数学。无一能离开数学。 华罗庚一门科学只有成功地运用数学时一门科学只有成功地运用数学时， 才算达到了完善的地步才算达到了完善的地步。 马克思2 以前以前,数学主要用于物理学数学主要用于物理学,天文学天文学.例例1. 诺贝尔经济学奖中许多成果的关键是数学方法诺贝尔经济学奖中许多成果的关键是数学方法例例2. CT理论中的核心是数学中的理论中的核心是数学中的Radon变换变换例例3. 基因序列的分析离不开数学方法基因序列的分析离不开数学方法 数学不仅是一门科学数学不仅是一门科学,而且已成为一种关键的普而且已成为一种关键的普 遍适用的技术。遍适用的技术。 现在现在,数学不仅已经深入到化学数学不仅已经深入到化学,生物生物,工程技术等工程技术等 自然科学当中自然科学当中,而且在经济而且在经济,管理等社会科学领域得管理等社会科学领域得 到越来越广泛的应用到越来越广泛的应用. 一半以上的获奖者都运用相当深刻的数学工具。一半以上的获奖者都运用相当深刻的数学工具。诺贝尔经济学奖与数学诺贝尔经济学奖与数学 完全因为数学得奖：完全因为数学得奖：Debreu、Nash、Selton、 arsanyi。 经济学的数学化是经济学开始成为真正的科学理论经济学的数学化是经济学开始成为真正的科学理论 的标志。数学是经济学的工具和语言。的标志。数学是经济学的工具和语言。 数学上涉足非常深：数学上涉足非常深：Samuelson、Arrow、Markowitz、 Merton、Scholes、Sen 等数理经济学家，等数理经济学家，Haavelmo、 Heckman、McFadden 等计量经济学家。等计量经济学家。CT理论中的核心是数学中的理论中的核心是数学中的Radon变换变换tgacctcttgtcctgtatagcaacctatttggtaatgattccagcactcacagaaaagcttgcacacatacacacacacccc acccctccccactaacaaatgcaagttggtaaacaaattccaaaaaggcataacaaaccttatatatatagacaaatatata ttaaagttttttagtctgtactagaaagagcttcagacagaactgaccaccattccattgctcatcaatttcctgggacagca cctgagcgtgcgcttacgcgcgtacacacacatagacacgcactgcgatacaagtcctgatttgggagtccgtcctttta aaaacagccacatgctttcacgctctgagacccacccgtttctgtgagcagggggagggcaaggaaagccctggcctc agtccagccttttctctgcttccacctgctcaggctgtgtgctcttggttctgtcctgcacttgtgtgaattccaaaactgtttttt taaaaaatggcccgcaccccaaatgtctccctgccccatactttgcaacaagagaaaactttaggatgcttctcttttgggt ggcggaggttgttaacttcaagaatttagaagaatcattgctccgacaaatccactgtctcctgagttttctttattcatgttaa caaggcaagagtcagagaaaagggagacttggtctgcttcccacatgcagctgagcggaggggccgtcacagcaca gggtcacctgcagagctgaagccgctcctcaggctccccctccaagagggctggggcaaggtccctgggctgaggc ctcccaggggggcctgggcaaggcttccttgggttctggatcccccctgcaatgctgccccatcctgcccccaccccca cgtcattaaacacgatggagggtttttcggtcggttggttggttggtgttctaaatcaaggaaaatggtccgactggacccc ttgtctctctctctacagactgcttcacggactctttgctgttgacgatctcctggtagcatgaccttttggcctttgttaagaca cacagcctttctgtatcaagccccctgtctaacctacgacccagagtgactgacggctgtgta基因序列的例子基因序列的例子 数学建模是将实际问题变为用数学语言描述的数学数学建模是将实际问题变为用数学语言描述的数学 问题的过程，其中得到的数学结构就是数学模型。问题的过程，其中得到的数学结构就是数学模型。 数学建模方法在国民经济和社会活动诸方面都有着数学建模方法在国民经济和社会活动诸方面都有着 广泛的应用。广泛的应用。 数学建模已成为当前各大学开设的必修课程。数学建模已成为当前各大学开设的必修课程。 科学科学技术技术的的发展发展,数学数学地位地位的变化的变化,对人才培养提出对人才培养提出 了新了新的的要求要求。数学建模就是在。数学建模就是在这种新形式下被引入这种新形式下被引入 大学的大学的教教学中的。学中的。3教材教材及及教学教学参考书参考书教材教材:数学模型数学模型(第三版第三版).姜启源姜启源,谢金星谢金星,叶俊编叶俊编. 北京：高等教育出版社北京：高等教育出版社. 2004参考书参考书:1数学建模方法数学建模方法,刘承平主编，北京：刘承平主编，北京： 高等教育出版社，高等教育出版社，2002。 2大学生数学建模竞赛辅导教材大学生数学建模竞赛辅导教材(1-4), 叶其孝主编叶其孝主编,长沙长沙: 湖南教育出版社，湖南教育出版社， 1997年年2001年。年。软件使软件使用用：Matlab 6.x, LinDo6.1/LinGo 8.01.1 从从现现实实对对象象到数学模到数学模型型一、原型和模型一、原型和模型二、数学模型与数学建摸二、数学模型与数学建摸三、数学模型简例三、数学模型简例“航行问题航行问题”1. 原原型型（Prototype） 人们人们在在现现实实世界里关心世界里关心, 研究研究, 或从事生产或从事生产,管管理的实理的实 际际对象称对象称为为原形原形。原原型有型有研究对象研究对象, 实际问题等。实际问题等。一一、原型和、原型和模模型（型（P2）2. 模型模型（Model） 为为某个目某个目的将的将原原型的型的某某一一部分信息进行简缩部分信息进行简缩、提炼而提炼而 构成的构成的原原型型替代物替代物称称为模型。为模型。例如例如:机械系统机械系统,电力系统电力系统,生生态系统态系统, 社会经济社会经济系统系统, 导导弹飞弹飞行行过程过程,化学化学反映反映过程过程,计计划决策划决策过程等过程等. 模型模型集集中中反映反映了原了原型中型中人们人们需需要要的的那那一一部分部分特征特征。3. 模型的模型的分分类类 物质物质模型模型: 包括直观包括直观模型模型, 物物理模型理模型; 理理想想模型模型: 包括思维包括思维模型模型, 符号符号模型和数学模型等。模型和数学模型等。 一一个原个原型型可可以有以有多多个个不同不同的模型。的模型。 实实物物模型模型水箱水箱中的中的舰艇舰艇、风洞风洞中的中的飞机飞机 物物理模型理模型地地图图、电路图电路图、分分子子结构结构图图 符号符号模型模型我我们们常常见见的模型有的模型有玩玩具、具、照片照片、飞机飞机、火箭火箭模型模型 著名著名的数学模型的数学模型: 欧氏空间欧氏空间, 微积微积分分, 万万有有引引力定律力定律, 麦克斯伟麦克斯伟方程方程组组, 门捷列夫周期表门捷列夫周期表. 1. 数学模型数学模型 对对于于现现实实对象对象, 为为了了一一个个特定特定目目的的, 根据根据其其内内在在规律规律, 作作出出必必要要的的简简化化假假设设, 运用运用适适当的数学工具当的数学工具, 得到的得到的 一一个个数学结构数学结构, 称称之之为数学模型。为数学模型。二、二、数学模数学模型型与数学建与数学建摸摸2. 数学建数学建摸摸 这里这里所说所说的数学建的数学建摸指摸指的是建的是建立立数学模型的全过程数学模型的全过程, 包括包括模型的建模型的建立立、求求解解、分分析析和和检验检验。 数学模型数学模型并并非非现现在的在的发发明明, 它它的的历史历史和数学一和数学一样悠久样悠久.用用 x 表表示船速示船速，y 表表示示水水速速，列列出出方程：方程：75050)(75030)( =+ yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750千米千米, 船从甲船从甲到到乙顺水航行需乙顺水航行需30小时小时, 从乙从乙到到甲逆水航行需甲逆水航行需50小时小时, 问船问船的的速度速度是多是多少少?x= 20 y = 5求解求解三、三、数学模数学模型简型简例例 “航行问题”“航行问题”1.问题问题2.求解求解4 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。3.航行问题航行问题建建立立数学模数学模型型的基的基本步骤本步骤1.2 数学建模的数学建模的重重要要意义意义一、数学建模的现实意义一、数学建模的现实意义二、数学建模的具体应用二、数学建模的具体应用(3) 在一在一般般工程工程技术技术领域领域数学建模数学建模仍然仍然大有用大有用武武之之地地；(4) 在在高新技术高新技术领域领域数学建模数学建模几乎几乎是必是必不可不可少少的工具的工具；(5) 数学数学进入进入一一些些新新领域领域,为数学建模开为数学建模开辟辟了了许许多多处女处女地地. 如如计量经济学计量经济学,人人口控制口控制论论,数学数学生生态态学学,数学数学地地质质学等学等.一一、数学建模的现数学建模的现实意义实意义(1)电子电子计计算算机机的的出现出现及及飞飞速速发展发展, 使使得数学的应用得数学的应用范范 围越来越围越来越广泛广泛, 数学以数学以空空前的广前的广度度和深和深度向度向一一切领切领 域渗透域渗透;(2) 数学建模数学建模作作为用数学方法为用数学方法解决解决实际问题的实际问题的第第一一步步， 越来越受越来越受到到人们人们的的重视重视。分析与设计分析与设计预报