量子力学教程(第二版)第 5 章 中心力场量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质中心力场的特征：中心力场是球对称场，势V(r). 几种特殊中心力场： 万有引力场 库仑场 后者在原子结构中占有特别重要的地位 各向同性谐振子场 无限深球方势阱 两者在原子核结构中常用5.1 中心力场中粒子运动的一般性质量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质中心力场中运动粒子的特征：角动量守恒即 但 彼此不对易，由此得出： 能级必是简并的（角动量为零的态除外） 量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质5.1.1 角动量守恒与径向方程 一、角动量守恒在经典力学中，在中心力场V(r)中运动的粒子（质量 为m ）,角动量是守恒量.因为量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 二、径向方程 设质量为m的粒子在中心势V(r)中运动，则 Hamilton量表示为对易关系 （2）（角动量守恒）量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质在球坐标系下，能量本征方程可写成离心势能项的共同本征态构成守恒量的完全集合 取为量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质代入方程（1），得到径向方程令则满足不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并. 量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质5.1.2 径向波函数在r0邻域的渐进行为假定V(r)满足此条件下，当r0时，方程（5）渐近地表示成在正则奇点r=0邻域，设,代入（9）式得解得 即 当r 0时，(10)(11)量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质按照波函数的统计解释，在任何体积元中找到 粒子的概率都应为有限值当r 0时，若，则要求因此，当l1时，解必须抛弃.r 0处只有的解才是物理上可以接受的.（12）等价地，要求径向方程(7)的解满足量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质5.1.3 两体问题化为单体问题实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题.设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为二粒子体系的能量本征方程为 量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质引入质心坐标R及相对坐标r其中 M = m1+m2 （总质量）（约化质量）(14)(15)可证明量子力学教程（第二版 ）5.1 中心力场中粒子运动的一般性质这样，方程（13） 化为(16)（18）代入（16）式，分离变量后，得令（17）-描述质心运动-描述相对运动