中国古代数学瑰宝知识回顾赵爽对周髀算经做注释提出“赵爽弦 图”成为中算史上最早给出勾股定理理论 证明的数学家.九章算术是中国古代重要的数学典 籍，标志着中国古代数学体系的形成.也 极大促进了世界数学的发展.“大衍求一术”求出解一次同余方程组的 算法，在国际上被称为“中国剩余定理”.数书九章数书九章 (1247)(1247)以勤劳、智慧著称于世的我国，在古代数学发展的历史长河中涌现了许多杰 出的数学家，为推动数学发展做出了彪炳 千古的贡献.赵爽、刘徽、祖冲之等是其中的佼佼者，他们的丰功伟绩值得我们崇 敬，他们百折不挠的治学精神值得我们学 习.导入新课四、中国古代数学家秦九韶的“大衍求一术”李冶的“天元术”朱世杰的“四元术”杨辉的高阶等差级数公式，这些成就领 先于欧洲400至600年秦九韶四元术天元术杨辉三角了解刘徽“割圆术”中的极限思想；熟悉我国古代数学家祖冲之在计算 圆周率的巨大历史意义；熟悉祖暅继承和完善前人对球体积 的推导提出了截面原理“祖氏原理”.教学 目标知识与能力过程与方法情感态度与价值观通过刘徽“割圆术”的介绍了解古代朴素的极限思想；通过古代圆周率和球体积的 计算了解祖冲之父子的历史贡献.刘徽是世界上最早使用数列极限思想解决实际问题的大数学家；祖冲之对圆周率 的计算和祖暅对球体积的计算意义重大.教学重难点重点难点“割圆术”的极限思想，圆周率的计算.刘徽在九章算术中提出“牟合方盖”，祖暅利用其对球体积的推导提出的截面原 理.1.刘徽与割圆术九章算术是用经文在竹简写成的，历代学者对 它进行校订与注释，特别是 魏晋刘徽注，使它精湛博大 的数学理论和光彩夺目的数 学思想方法成为中华数学瑰 宝和世界数学经典名著.因此刘徽是继希腊泰勒斯后，世 界论证数学的杰出代表之一.刘徽是中国古代数学理论的奠基人.他的主要贡献：创造了割圆术，运用朴素的极限思想计算圆面积及圆周率；建立了重差术；重 视逻辑推理，同时又注意几何直观的作用. 其中割圆术对中国古算的影响尤其深远.割圆术九章算术中关于求圆面积的古法“ 周三径一”是不精确的，刘徽在方田章的“ 圆田术”中用割圆术计算圆周率，开创了中 国数学发展史上圆周率研究的新纪元.他首先肯定圆内接正多边形的面积小于圆的面积将边数屡次加倍，从而面积增 大，边数越多则正多边形的面积越接近圆 面积.刘徽的“割圆术”“割之弥细，所失 弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆合体 而无所失矣”.刘徽计算到192边 形，求得3.1416，含有 极限思想.极限方法从刘徽割圆术看出，他明确地多次使用了极限思想，并 采取了对面积进行无穷小分割 ，然后求其极限状态的和的方 式解决圆面积问题的方法.这说明刘徽头脑中已经有了朴素的积分思 想的萌芽.他是中算史上第一个建立可靠的理论 来推算圆周率的数学家.割圆术古希腊穷竭法与古代中国的割圆术极相似，刘徽的割圆术比古希腊晚几百年， 但他的成就超过了和他同时代的数学家.首先，阿基米德的不等式既要用到圆的内接正多边形又要用到圆的外切正多边 形，而刘徽的不等式只需用圆内接正多边 形；其次，当时我国已使用十进位值记数 ，并且算筹技术十分发达，乘方、开方都 能迅速完成数字计算比古希腊人要容易的 多.牟合方盖刘徽看出九章算术中的球体积公式是错误的，为正确计算球的体积，他创造了 一个新的立体图形“牟合方盖”.八分之一个牟 合方盖图形完整的一个牟 合方盖图形在一个正方形内作两个互相垂直内切 圆柱，这两个圆柱的公共部分是牟合方盖.刘徽指出，每一个高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积比都为 ，因 此球体积与牟合方盖的体积之比也是这就是西方的“卡瓦列利原理”.刘徽没能把它总结为一般形式并且未 能求出“牟合方盖”的体积.但他创立的特殊形式的不可分量方法却为后人解决球的体 积问题指明了方向.2.祖冲之和祖暅南北朝祖冲之（429 500）及其子祖暅计算了圆 内接正6144边形和正12288 边形的面积，得出 3.14159263.1415927求出精确到第七位有效数字的 圆周率，领先世界达千年 之久.祖冲之的杰出成就，主要在天文历法、机 械和数学三方面.祖冲之之子祖暅也是一个博学多才的人并子承父业，他的成就也是在历法和 数学方面.密率： 约率：“密率：圆径一百一十三，圆周三百五十 五；约率：圆径七，周二十二.”隋书律历志约率早已被阿基米德所知，但密率却是 一项史无前例的创举.密率 ，为 纪念祖冲之的首创之功，“密率”因此又被称为 “祖率”.刘 徽圆周率的发展在某种程度上反映着一个时 代或一个民族的数学水平.到1948年，两位美国 数学家共同发表了有808位正确小数的圆周率， 这是人工计算圆周率的最高纪录.割之弥细，所 失弥少，割之 又割，以至于 不可割，则与 圆合体而无所 失矣.曾经困扰刘徽的球体积问题到祖冲之时代 获得了突破.这个正确结果记载在九章算术 “开立圆术”之李淳风注中，称为“祖暅之开立圆 术”.祖暅对球体积的推导也遵循了刘徽的方法，具体做法是，先取牟合方盖的八分之一考虑 它的外切正方体，它把这个正方体又分出三个 小立体，牟合方盖的八分之一部分称为“内棋” ，三个小立体称为“外棋”.牟合方盖的八分之一内 棋外 棋三外棋的体积之和等于一个长宽高皆为 立方体边长的四棱锥 的体积.根据上述分析可知：，所以又根据刘徽的结论可知：，即在推导球体积问题上，刘徽与祖暅各完 成了任务的一半，刘徽确定了“牟合方盖”之 形，指明了努力的方向，而祖暅则算出了“牟 合方盖”的体积.祖冲之在驳议中说，任南徐州从事使 时已经在撰正“立圆旧术”，就是说得到了正确 的球体积公式，得到了祖暅的继承和完善.意大 利数学家卡瓦列里在1635年独立提出.这个原理 对微积分的建立产生了重大影响.得到球体积的 基础是“出入相补”原理和祖氏原理.课堂小结刘徽是中国古代数学理论的奠基人，是中 算史上第一个建立可靠的理论来推算圆周率 的数学家.祖冲之求出精确到第七位有效数字的圆周 率，领先世界达千年之久.祖暅则算出了“牟 合方盖”的体积，得到了正确的球体积公式.