第二章 控制系统的状态空间描述Modern Control Theory 线性系统的数学描述状态空间描述的基本概念v 状态、状态变量v 状态矢量（状态向量）v 状态空间v 状态方程v 输出方程v 状态空间表达式v 状态变量结构图本章主要内容本 章 主 要 内 容机理分析法列写状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式系统的传递函数矩阵系统状态方程的线性变换v 基本知识及概念v 状态方程的两种标准形式 对角形 约当形v 将状态方程化为标准形式本章主要内容重点内容：要求熟练练掌握n电电路、机电电系统统状态态空间间表达式的建立 （由系统统的物理机理或由微分方程推导导状 态态空间间表达式）。n线线性变换变换 的基本性质质以及对对角和约约当标标 准型。n传递传递 函数矩阵阵的定义义及求取（由状态态空 间间表达式）。本章重点内容2.1 线性系统的数学描述系统描述中常用的基本概念1. 系统：一些相互制约的部分所构成的整体。典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和 控制器组成。被控过程具有若干输入端和输出端。2. 输入和输出：输入-由外部施加到系统上的全部激励输出-从外部量测到的来自系统的信息典 型 控 制 系 统 方 框 图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制被 控 过 程2.1 线性系统的数学描述3. 系统数学描述的两种基本方法： 4. 松弛性:若系统的输出 由输入 唯一确定，则称系统 在 是松弛的。1) 系统的外部描述（输入输出描述）传递函数或高阶微分方程,不计所有内部中间变量。2) 系统的内部描述状态空间表达式，基于系统内部结构， 计及内部状态，是对系统的一种完整的描述。2.1 线性系统的数学描述算子5. 线性：一个松弛系统，当且仅当对任何输入 及任意常数 ，均有 则该系统称为线性的，否则为非线性。6. 定常性（时不变性）：2.1 线性系统的数学描述(可加性)(齐次性)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数 ，均 有则称系统是定常的，否则称为时变的。 -位移算子定常性（时不变性）状态和状态变量 状态向量 状态空间 状态方程 输出方程状态空间表达式状态变量结构图 2.2 状态空间描述的基本概念一、状态和状态变量 1、状态：表征系统在时间域中运动的信息 和行为。 2、状态变量：足以完全表征系统运动状态 的最小个数的一组变量。 注意：1)、状态变量的选取具有非唯一性，可用一组 数目最少的变量作为状态变量；相互独立， 其个数等于微分方程的阶数 微分方程阶数取决于独立储能元件的个数 状态变量的个数应等于独立储能元件的个数2)、状态变量不同于输出变量，其不一定在物 理上可量测，有时只具有数学意义。二、状态向量（状态矢量） 若描述系统状态n状态变量用 表示，并把这些状态变量看作是向量(矢量) 的分量，则向量 称为n维状态向量，记作：或： 三、状态空间 以状态变量 作为坐标轴所构 成的n维空间称为状态空间。说明：1)、系统在任一时刻的状态，在状态空间中用 一点表示。 2)、随着时间的推移，将在状态空间中描绘出 一条轨迹，称为状态轨迹。 状态空间四、状态方程-描述输入与系统内部状态的变化 关系 描述系统状态变量与输入变量之间关系 的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方 程组(离散系统)称为状态方程。说明：1)、状态变量的选择具有非唯一性，因此状 态方程也具有非唯一性； 2)、虽然状态方程的形式不同，但它们的本质 相同，都描述了同一个系统；3)、不同形式的状态方程之间实际上存在着某 种线性变换关系。 五、输出方程描述系统输出量与状态变量（输入 量）之间函数关系的代数方程 称为输出方 程。 由 系 统 任 务 确 定 或 给 定指定 作为输出，则 ：或用 y 表 示 矩阵表示式为：或 ： 六、状态空间表达式 A A，B B，C C，D D 状态方程和输出方程的组合称为状态空 间表达式，亦称为动态方程。说明：1、状态空间表达式是对系统动态行为的完 全的描述，因为它既表征了输入对于系统内 部状 态的因果关系，又反映了内部状态对于外 部输 出的影响。2、状态空间表达式是非唯一的，因为系统 状态变量的选择是非唯一的。设单输入-单输出线性定常连续系统，其状态变量为： ，则状态方程的一般形式为:输出方程为：状态空间 表达式状态空间表达式写成一阶矩阵微分方程的形式 为 :简记为 ：系统矩 阵或系 数矩阵: 表示系 统内部 状态的 联系， 为 方阵 输输 出 矩 阵阵输入矩 阵或控 制矩阵 ，为输 入对状 态的作 用， 的列阵 n 维 状 态 变 量对于一个具有 个输入 个输出的复杂系统，其 状态方程为:输出方程的一般形式为：多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量形式为：可简写为：系统矩 阵或系 数矩阵: 表示系 统内部 状态的 联系， 为 方阵 n维 状态 变量输 出 矩 阵 m 维 输 出 向 量 输入 矩阵 r维 输入 向量 （控 制向 量 ）直接 转移 矩阵 (关联 矩阵 )线性时不变系统模型：线性时变系统模型：线性定常离散系统 模型：七、状态变量结构图 +讨论：1、状态变量的独立性。2、由于状态变量的选取不唯一，因 此状态方程、输出方程、动态方程也都不 唯一。但是，用独立变量所描述的系统的 维数(阶数)应该是唯一的，与状态变量的 选取方法无关。3、动态方程对于系统的描述是充分 的和完整的，即系统中的任何一个变量均 可用状态方程和输出方程来描述。 x3x3例2.1、 试分别确定下图（a）、（b）所示电路的独立状态变 量。 图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y为输出电 压，xi为电容器电压或电感器电流。 （a） （b）因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用 其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际 上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。对图（b），x1 = x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的 ，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量如（x2，x3）作 为状态变量。解：并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图（a），不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有x3列写状态空间表达式（ 机理分析法） (1)、根据具体系统结构及其研究目的，选择一 定的物理量作为系统的状态变量；(2)、 根据对象或环节所遵循的物理或化学定律 ，列写出描述变化过程的原始方程；(3)、列出矩阵微分方程形式的状态空间表达式。2.3 机理分析法建立状态空间表达式几个不同系统状态方程的列写 示例：例2.2、电路系统状态空间表达式的列写示例 求图示RLC回路的状态空间表达式。独立储能元件(2个)：电容C 和电感 L可用二阶微分方程式描述该系统 以 和 作为该系统的两个状态变量： 设状态变量 ，则该系统的状态方程为:写成向量矩阵形式为:简记为:即 ：若改选 和 作为两个状态变量，令: 则该系统的状态方程为:状态 变量 选取 的不 同， 状态 方程 也不 同指定 作为输出，则 ：或用 y 表 示 输出方程的矩阵表示式为：或 ： 例2.3、力学系统状态空间表达式的列写示例 机械运动系统如下图所示， M为物体的质量，K 为弹簧系数，B为阻尼器的阻尼系数，f为外加的 力，y为受力后物体的位移，v为物体的运动速度 。试以外力f为输入、位移y为输出，写出该机械系 统的状态空间表达式。 KMByf弹簧质量阻尼器系统解：设 , , ,则有根据牛顿第二定律 可写出该系统的运动方程： 弹簧质量阻尼器系统KMBy可得状态空间表达式为 ： 状态方程输出方程例2.4、倒立摆装置长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量 为 M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控 制力 u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的 状 态空间表达式。设小车瞬时位置为 摆心瞬时位置为 在水平方向，由牛顿第二定律即：在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡即:则有：联立求解：选取状态变量：2.4 由微分方程求状态空间表达式经典控制论：输入、输出变量间的高阶微分方程 描述系统 现代控制论：输入、状态、输出变量间的一阶微 分方程组描述系统提出问题：需选取合适的状态变量，推导出状态 空间表达式，保持原输入输出关系不变 。2.4 由微分方程求状态空间表达式1）输入变量没有导数项的情形 lSISO线性定常连续系统微分方程的一般形式 为l第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n 个状态变量 令n第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有n第三步：将方程组表示为向量-矩阵形式其中， 这样的A阵 又称友矩阵n例2.5 已知系统的输入输出微分方程为试列写其状态空间表达式。解：取状态变量 可得写成矩阵形式2）系统输入量中含有导数项的情形SISO线性定常连续系统的微分方程一般形式为：一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n 。为避免在状态方程中出现u的导数项，可选择如下一 组状态变量。设 ，选取：n 是n个待定系数即 ：得到将求出的 代入上式， 可得：由已知系统 微分方程继续将上式代入前面求得的：可得合显然，若理选择系数 ，可使得 上式中u的各阶导数项的系数都等于0即可解得：令上式中u的系数为 ，则：最后可得系统的状态方程：可写成向量-矩阵的形式：即：又状态变量结构图n例2.6 已知系统的输入输出微分方程为试列写其状态空间表达式 解：由微分方程系数知 首先求 n直接写出状态空间表达式 另：对输入项含有导数项的微分方程，还有一种形式 的状态空间表达式（推导略）：注意：此种表示形式在bn=0即输入的阶次低 于n时，状态空间表达式的列写非常直观简便 。因为若bn=0，则有如前面例2.6 已知系统的输入输出微分方程为可佷方便的写出它的又一种状态空间表达式为：