数 学 建 模 讲 座数 学 建 模 讲 座2009年8月中南大学2009年8月中南大学郑洲顺郑洲顺提 纲提 纲数学模型简介数学模型简介 数学建模过程介绍数学建模过程介绍 数学模型求解的基本方法数学模型求解的基本方法 数学建模与数学软件系统的使用数学建模与数学软件系统的使用 数学建模论文或报告的写法简介数学建模论文或报告的写法简介 数学建模参赛队的组队方法数学建模参赛队的组队方法 差分方法建模实例差分方法建模实例一、抵押贷款买房问题一、抵押贷款买房问题相关背景相关背景名流花园用薪金,买高品质住房用薪金,买高品质住房 对于大多数工薪阶层的人士来说对于大多数工薪阶层的人士来说,想买房想买房,简直是天方夜谭简直是天方夜谭.现在有这现在有这 样一栋样一栋:自备款只需七万人民币自备款只需七万人民币,其余由银行贷款，分五年其余由银行贷款，分五年还还清清.相当相当 于每月只需付于每月只需付1200人民币。那么人民币。那么,这对于您还有什么问题呢这对于您还有什么问题呢? 谁都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这谁都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这 就产生了贷款买房的问题。就产生了贷款买房的问题。 下面是下面是1991年年1月月1日某大城市晚报上登的一则广告日某大城市晚报上登的一则广告.任任何何人人看看了了这这则则广广告告都会产生许多疑问，且不谈广告上没有谈住房都会产生许多疑问，且不谈广告上没有谈住房 面积、设施等，人们关心的是：面积、设施等，人们关心的是：如果一次付款买这套房要多少钱呢？如果一次付款买这套房要多少钱呢？银行贷款的利息是多少呢？银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付1200元呢？为什么每个月要付1200元呢？是怎么算出来的？是怎么算出来的？因为我们都知道，若知道了一次付款买房的价格，如果自己只 能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决， 只要知道利息，就可以算出5年还清，每月要付多少钱才能按时 还清贷款，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子做 出决策了。因为我们都知道，若知道了一次付款买房的价格，如果自己只 能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决， 只要知道利息，就可以算出5年还清，每月要付多少钱才能按时 还清贷款，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子做 出决策了。分析与建模分析与建模需要借多少钱，用记;0A因为我们都知道，若知道了一次付款买 房的价格，如果自己只能支付一部分 款，那就要把其余的款项通过借贷方式 来解决，只要知道利息，就可以算出5 年还清，每月要付多少钱才能按时还清 贷款，从而也就可以对是否要去买该广 告中所说的房子做出决策了。因为我们都知道，若知道了一次付款买 房的价格，如果自己只能支付一部分 款，那就要把其余的款项通过借贷方式 来解决，只要知道利息，就可以算出5 年还清，每月要付多少钱才能按时还清 贷款，从而也就可以对是否要去买该广 告中所说的房子做出决策了。月利率用记R（贷款通常按复利计）;每月还多少钱用x记 ；借期记为N个月。若用记第k个月时尚欠的款数，则一个月后（加上利息） 欠款，不过又还了x元所以总的款数为1(1),0,1,2,3.kkAk Ax k+=+=而一开始的借款为，所以该问题可用数学表达式表示如下100(1),0,1,2,3.kkAR Ax kAA+=+= ，已知（不妨假设 为已知）（1.1）由10(1),AR Ax=+由2102 0(1)(1)(1)(1)(1) 1,AR AxRR AxxR AxR=+=+=+利用数学归纳法 ，知 12 00(1)(1)(1). (1) 1(1)(1)1,kkk kkkARAxRRRxRARR=+=+ 故0()(1).k kxxAARRR=+这就是， ，x ， R 之间的、显式关系，是迭代关系（1.1）的 解。kA0A针对广告中的情形，N=5年=60个月，每月还款x=1200元，已知 。针对广告中的情形，N=5年=60个月，每月还款x=1200元，已知 。但即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的 款，并没有告诉你.但即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的 款，并没有告诉你.0A此外银行贷款利率R也没有告诉你，着造成我们决策的困难. 然而，由（1.2）可知60个月后还清，即=0，从而得此外银行贷款利率R也没有告诉你，着造成我们决策的困难. 然而，由（1.2）可知60个月后还清，即=0，从而得60A6060 012000(1)(1)1ARRR=+600601200(1)1,(1)RARR+=+ （1.3）式表示N=60，x=1200给定时和R之间的关系式，如果我们已 经知道一行的贷款利息R，就可以算出。（1.3）式表示N=60，x=1200给定时和R之间的关系式，如果我们已 经知道一行的贷款利息R，就可以算出。0（1.3）（1.3）A 例如，若R=0.01，则由（1.3）式子可算得=52946元。如果该房地产公 司说一次性付款的房价小于70000+53946=123946元的话，你就应自己 去银行贷款。 事实上，利用Maple等数学软件可把（1.3）式的图形画出来， 从而可进行估算决策。例如，若R=0.01，则由（1.3）式子可算得=52946元。如果该房地产公 司说一次性付款的房价小于70000+53946=123946元的话，你就应自己 去银行贷款。 事实上，利用Maple等数学软件可把（1.3）式的图形画出来， 从而可进行估算决策。例1 某校一对年轻夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0.01，贷款期 25年=300月，这对年轻夫妇希望知道每月还多少钱，25年后就可以还清， 假设这对夫妇每月可有节余700元，是否可以去买房呢？解 现在的问题就是要求使得=0的x，由（1.2）式知300A0(1) (1)1kkA RRxR+=+现在=60000，R=0.01，k=300，利用Maple等数学软件，容易算得x=632 元0（订购（订购Q双鞋），那么购买费用为双鞋），那么购买费用为 k+cQ元，为了得到每周期的贮存费用，注意到一个周期内的平均存储水 平为（元，为了得到每周期的贮存费用，注意到一个周期内的平均存储水 平为（Q+0）/2=Q/2双。因此相应的贮存费用为每单位时间双。因此相应的贮存费用为每单位时间hQ/2元，因 为周期长度为元，因 为周期长度为Q/a元月，所以每个周期的贮存费用为 元。于是，每个周期的总费用为元，而每双鞋 的总费用为元月，所以每个周期的贮存费用为 元。于是，每个周期的总费用为元，而每双鞋 的总费用为2(/2)(/ )/2hQQ ahQa= 2/ 2kcQhQa+2/2( )/2/k cQ hQaT T Qak Q ac hQQ a+=+由于解得使得由于解得使得T最小的最小的Q为，为了达到所希望的目 的，连续两次订购的时间间隔为为，为了达到所希望的目 的，连续两次订购的时间间隔为0dT dQ=*2/Qak h=*/2 /tQak ah=因此，为了达到在单位时间内的花费最小，对于所考虑的特定类型 的鞋，因此，为了达到在单位时间内的花费最小，对于所考虑的特定类型 的鞋，零售商店每隔月向批发商订购双零售商店每隔月向批发商订购双，其中，其中k为每次 订购的组织费，为每次 订购的组织费，h为每月每件商品的贮存费用，而为每月每件商品的贮存费用，而a是零售商售出商品的 不变速率。是零售商售出商品的 不变速率。2/ak h2 /k ah二、一个数值例子二、一个数值例子我们用一个特定的数值例子来说明前述内容，假定所考虑的特定类型的 鞋是一种全年都销售的女鞋，并且预期将继续流行足够长的时间以保证如下 分析中的考虑之合理性。零售商估计每次定货的组织费为我们用一个特定的数值例子来说明前述内容，假定所考虑的特定类型的 鞋是一种全年都销售的女鞋，并且预期将继续流行足够长的时间以保证如下 分析中的考虑之合理性。零售商估计每次定货的组织费为20元；每双鞋需花 每月费零售商元；每双鞋需花 每月费零售商4.60+0.10的运费。零售商将这种鞋的贮存费估计为每双每月的运费。零售商将这种鞋的贮存费估计为每双每月 0.84元，零售商以每月平均元，零售商以每月平均90双的速率销售这种鞋。双的速率销售这种鞋。利用上一节中的记号，有利用上一节中的记号，有k=20元，元，c=4.70元，元，h=0.84元，而元，而a=90双双/月。所以 使得每月总费用最小的这种鞋的订购量为月。所以 使得每月总费用最小的这种鞋的订购量为*2/2 90 20/0.844285.7165.47Qak h=双这样便有两个问题：首先，订购这样便有两个问题：首先，订购65.47双鞋是荒唐的；其次，批发商向 零售商出售鞋，按惯例总是以箱为单位，且每箱装有的双数按箱的规格不同 而不同。为确定起见，假定从批发商处订购的特定类型的鞋是双鞋是荒唐的；其次，批发商向 零售商出售鞋，按惯例总是以箱为单位，且每箱装有的双数按箱的规格不同 而不同。为确定起见，假定从批发商处订购的特定类型的鞋是8双一箱的。双一箱的。为了解决上面提到的问题，我们首先检查函数的特性：在可行集上，当时，是减少的，而当时，是增加的，此处为了解决上面提到的问题，我们首先检查函数的特性：在可行集上，当时，是减少的，而当时，是增加的，此处=65.47，因为，因为54和和72是是18的倍数中最接近于的倍数中最接近于65.47的两个数，一个小于它，一个大于它，容易算出：元的两个数，一个小于它，一个大于它，容易算出：元/月，而元月，而元/月，于是零售商应该订购双这样的鞋，且应每隔月，即月，于是零售商应该订购双这样的鞋，且应每隔月，即24天订购天订购72双鞋（即四箱）这样的鞋。双鞋（即四箱）这样的鞋。( )T Q( )T Q( )T Q :0QQuQ 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量vx lxlxqlxxbqxxqxq= =+,)(,0,)()()(11 = lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(ulTdttlqQT/,),(01=模 型 建 立模 型 建 立 xx+)(xq)(xxq+xv0x 1llt=0, x=0，点燃香烟，点燃香烟0)0 ,(wxw=000)0(uwHaHq=q(x,t) 毒物流量毒物流量w(x,t) 毒物密度毒物密度1) 求求q(x,0)=q(x)=lxleeaHlxeaHxqvlx vblvbx1)(010,0,)( 11),()(tutuwtH=lxleetaHlxutetaHtxqvlx vutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),( 11vl vutlb eetutauwtlq21)( ),(),(=t时刻，香烟燃至时刻，香烟燃至 x=ut1) 求求q(x,0)=q(x)2) 求求q(l,t)tvtxqbtxwttxw=+),(),(),(=0)()0 ,(),(wxwetutauwvb twvutxbaaaeawtutwvbuta =1,1),( 03) 求求w(ut,t) =vabut vbut vl vbl aeeeeaauwtlq21 0),( =vbla vluleebavawdttlqQ12 1/001),(vl vutlb eetutauwtlq21)( ),(),(=vbuta aeawtutw 01),(rervblarr=1)(,1),(2raMeQvl =4) 计算计算