1caetcycaetcy第六章第六章第六章第六章 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析1 李雅普诺夫意义下的稳定性1 李雅普诺夫意义下的稳定性2 李雅普诺夫第一法(间接法)李雅普诺夫第一法(间接法)3 李雅普诺夫第二法(直接法)李雅普诺夫第二法(直接法)4 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性caetcycaetcy若能量在运动过程中不减不增，则为若能量在运动过程中不减不增，则为李雅普诺夫意义下的稳定。李雅普诺夫意义下的稳定。不必求解微分方程，不必求解微分方程，直接直接判断系统稳定性。判断系统稳定性。在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以至最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以至最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统 渐近稳定！渐近稳定！系统运动需要能量。系统运动需要能量。反之，系统则反之，系统则不稳定！不稳定！返回前页返回前页2caetcycaetcyk=21221xmxmkxxx& =21 xxx选取选取 =xx &xkxxm& &=( )xV2 22 121 21mxkx +=0x =21 xx( )0xV0x= =21 xx( )0=xV状态方程状态方程系统能量系统能量返回前页返回前页=ex( )( )txtx& ,m 00例：机械位移系统例：机械位移系统caetcycaetcy( )( )txtx& ,m返回前页返回前页k=21221xmxmkxxx& =xx &x返回前页返回前页( )xV2 22 121 21mxkx +=系统能量系统能量 =00ex例：机械位移系统例：机械位移系统3caetcycaetcy( )( )txtx& ,mk例：机械位移系统例：机械位移系统( )xV2 22 121 21mxkx +=系统能量能量随时间变化率系统能量能量随时间变化率( )xV&2211xmxxkx& +=+=21221xmxmkmxxkx2 2x=02x( )0xxxxVV1,( ) ( )0 , 00 , 0=xxxVVV 5,在零平衡状态在零平衡状态 xe=0 的邻域内的邻域内不定不定前页前页, 0x( )xV6caetcycaetcy例：已知，确定标量函数的定号性例：已知，确定标量函数的定号性( )2 32 24 12xxxV+=x (1)Tx xx321=x解：解： ( )0 ,x0xV正定正定( )0,=x 0xV正半定正半定( )2 32 1)2(xxV+=x ( ) x 00, 00321=V,x,xx解：解：( ) ( )0 , 0 0 , 0 =xxxxVV( )0x V其余其余( )xV( )xV( )0,=x 0xVcaetcycaetcy( )()23212 12 (3)xxxxV+=x解：解：( ) ( )0 , 0 0 , 0 =xxxxVV负半定负半定( )0,=x 0xV( )0020231=x V,xx,x( )0+x Vxxx 不定不定 ( )022 32 22 1nnnnpppppppppLMOML L二次型二次型 V(x)= xTPx 正定正定矩阵矩阵P正定正定P的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式0二次型定号性的判别方法二次型定号性的判别方法返回返回8caetcycaetcy矩阵矩阵P负定负定P的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式负正相间负正相间()01 , , 0 , 0111122211211 11p矩阵矩阵P负定负定0=正定正定( )xV019211102=05 11212121103= =P的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式0判别方法一判别方法一caetcycaetcy例：确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。例：确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。 ( )3123212 312 212 11242xxxxxxxcxbxaV+=x( ) =321111321 212111xxxcbax xxVx解：解：0 212111 , 011, 011111 1 cbabaa +1111111114410cabcbabaa11caetcycaetcy三、李雅普诺夫第二法主要定理三、李雅普诺夫第二法主要定理三、李雅普诺夫第二法主要定理三、李雅普诺夫第二法主要定理为系统平衡状态为系统平衡状态()00f=t ,。如果存在具有连续一阶非线性。如果存在具有连续一阶非线性时变时变系统系统()0,ttt=xfx &状态空间原点状态空间原点()()0, ,=tVtV0x偏导数的标量函数且满足：偏导数的标量函数且满足：()tV, x正定且有界正定且有界()()()0,xxxtV1,()tVt, x&负定且有界负定且有界()()0,xxtVt&2,()tV, ,xx3,则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定大范围一致渐近稳定。定理1定理1返回返回caetcycaetcy其中其中( )00f=（线性（线性/非线性）非线性）定常定常系统系统( )0 , =txfx &如果存在具有连续一阶导数的标量函数如果存在具有连续一阶导数的标量函数( )( )0 ,=0xVV( )xV正定正定1,( )xV&负定负定2,( )xxV ,3,则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定大范围（一致）渐近稳定。在时满足：在时满足：0x 定理2定理2前页返回前页返回12caetcycaetcy其中其中( )00f=（线性（线性/非线性）非线性）定常定常系统系统( )0 ,=txfx&如果存在具有连续一阶导数的标量函数如果存在具有连续一阶导数的标量函数( )( )0 ,=0xVV( )xV正定正定1, ( )xV&负半定负半定2,( )xxV ,4,则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定大范围（一致）渐近稳定。在时满足：在时满足：0x ( )0 ,xxVX&3,定理3定理3定理2前页返回定理2前页返回caetcycaetcy其中其中( )00f=（线性（线性/非线性）非线性）定常定常系统系统( )0 ,=txfx&如果存在具有连续一阶导数的标量函数如果存在具有连续一阶导数的标量函数( )( )0 ,=0xVV( )xV正定正定1,( )xV&负半定负半定2,( )xxV ,4,则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定。在时满足：在时满足：0x ( )0 ,xxVX&3,系统保持稳定的等幅振荡，系统保持稳定的等幅振荡，非渐近稳定非渐近稳定！定理4定理4定理3定理3能量不变！能量不变！前页返回前页返回13caetcycaetcy=21221xmxmkxxx& =21 xxx选取选取 =xx &xkxxm& &=( )xV2 22 121 21mxkx +=例：机械位移系统例：机械位移系统状态方程状态方程系统能量系统能量正定正定返回返回 =21 21210021xxmk xx( )( )txtx& ,km =00excaetcycaetcy=21221xmxmkxxx&( )xV2 22 121 21mxkx +=例：机械位移系统例：机械位移系统系统能量系统能量正定正定( )xV&2211xmxxkx& +=2 2x=负半定负半定能量不断衰减能量不断衰减返回02=x( )0=xV&但不恒等于但不恒等于0 =21 21000 xxxx =00ex ( )( )txtx& ,km前页返回前页返回14caetcycaetcy( )xV2 22 121 21mxkx +=例：机械位移系统例：机械位移系统系统能量系统能量正定正定( )xV&2211xmxxkx& +=2 2x=负半定负半定返回02=x( )0=xV& =21 21000 xxxx =0021 xx 渐近稳定！渐近稳定！ex定理3定理3=21221xmxmkxxx& =00ex ( )( )txtx& ,kmcaetcycaetcyk( )( )txtx& ,m例：机械位移系统例：机械位移系统1x2xex0x( )xV2 22 121 21mxkx +=( )xV&2 2x=负半定负半定正定正定返回前页定理3返回前页定理3渐近稳定渐近稳定( )0=xV&15caetcycaetcy( )00= 但但xV&返回前页定理3返回前页定理3=21221xmxmkxxx& =00ex渐近稳定渐近稳定状态平面图状态仿真曲线状态平面图状态仿真曲线caetcycaetcy( )( )txtx& ,mk =1221xmkxxx& =21 xxx选取选取 =xx &kxxm=& &( )xV2 22 121 21mxkx +=例：机械位移系统例：机械位移系统状态方程状态方程系统能量系统能量正定正定( )xV&2211xmxxkx& +=0=能量不变能量不变系统原点平衡状态为系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定。恒等于恒等于0比较返回比较返回定理4定理4 =00ex16caetcycaetcyk( )( )txtx& ,m返回前页返回前页例：机械位移系统例：机械位移系统( )xV2 22 121 21mxkx +=( )xV&0=正定正定1x2xex0xcaetcycaetcy比较比较=1221xmkxxx& =00ex状态平面图状态仿真曲线状态平面图状态仿真曲线返回前页定理4返回前页定理4李雅普诺夫意 义下稳定李雅普诺夫意 义下稳定17caetcycaetcy单摆单摆( (Pendulum) )平衡状态的稳定性平衡状态的稳定性caetcycaetcy单摆单摆( (Pendulum) )平衡状态的稳定性平衡状态的稳定性18caetcycaetcy例：分析单摆平衡状态的稳定性例：分析单摆平衡状态的稳定性解：解：&=21, xx0sin=+MgML& &选取选取=xLgxxx1221sin& 状态方程状态方程( )0xfx=&平衡状态：平衡状态：()L,n ne2100= =x1x2xexexKKex ML前页返回前页返回