第二章 宏观电磁场的基本规律 内容提要： 1. 真空中的静电场 库仑定律：实验得出，点电荷1q对点电荷2q施加的力是 123 12021 124RRqqF 式中12R是两个点电荷之间的距离，12R是从1q指向2q的单位矢量。 将1q视为试探电荷，其上所受的力为12F，则定义电场强度为 112 qFE 根据叠加原理：点电荷系及连续分布电荷的电场分别为： Niiii RRqE13 04413 0dqRRE其中dq为连续分布电荷的电荷元。对体、面、线电荷分别为： dldsdvdqls 静电场的基本方程： 微分方程：0E0 E积分方程：0ldlE0qdsE s因此E其中QPPdlE041 2. 真空中的恒定电流的磁场 安培定律：闭合电流回路 1 的磁场作用在闭合回路 2 上的磁力是 123 121212 210 12)( 4llRRdldlIIF其中12R是从线元1dl指向2dl的单位矢量。则电流1I产生的磁感应强度是 30 4RRdlIB上式是毕奥萨伐尔定律。对于连续的电流分布 vRRdvB30 4 洛仑兹力： 在磁场B 中，一个速度为V 的电荷q受到的磁力是 BVq 如果还同时存在电场E ，则总的力是 )(BVEq 恒定磁场的基本方程： 微分方程：0 BJB0 积分方程： sdsB0 sldsJIdlB00 因此 AB 其中 lrdlIA 40是失势。这个线积分是对通有电流I的回路所作的 3. 电介质中的静电场 介质中的静电特性可用极化强度p描述。 极化产生了真实的电荷聚集。 由p可确定体与面束缚电荷密度 pp )(12ppnsp 其中单位矢量n 与介质的表面垂直，指向外方。 介质中静电场的基本方程： 微分方程：pD 0E)(0pEED 积分方程： vsdvdsD ldlE0说明静电场是有源无旋场。 4. 磁介质中的恒定磁场 磁化强度M 是与电介质中的极化强度p相对应的量。磁化产生一等效面电流密度和等效体电流密度。其中 MJMMnJMSM)(12等效电流与传导电流在产生磁场方面是等价的。 磁介质中恒定磁场的基本方程： 微分方程：JH 0 B)(0MHHB 积分方程：dsJdlHls sdsB0说明恒定磁场是有旋无源场。 5. 几个定律 法拉第感应定律： 微分形式：ptBE 积分形式：dstBdlE l说明变化的磁场要产生电场，这个感应电场为有旋场。 欧姆定律： 在导电媒质中，传导电流密度与外加电场关系为： EJ 电荷守恒定律： 自由电荷是守恒的，tJ束缚电荷也是守恒的，tJt m其中：MtpJJm是物质电荷的流动引起的电流，J 是自由电流密度，tp 是极化电流密度，M是磁化物质中等效电流密度。mt，是自由电荷密度，m是束缚电荷密度, pm。还有第四种电流，即使在真空中亦存在，相应的电流密度为tE 0。且 tpEttE )()(00 总的体电流密度 tp tEMJJt)(0)(0pEtMJ tDMJ其中为位移电流密度。 6. 麦克斯韦方程组 介质中的麦克斯韦方程组 微分形式： D0 BtBEtDJH积分形式： svdvdsD0dsB sLdsBdtddlEdstDJdlH Ls真空中的麦克斯韦方程组 在上述方程中，用ED0，HB0代入即可得真空中的麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组都适用于非均匀、非线形和非各向同性介质。 7. 电磁场的边界条件 在两种介质交界面上，场矢量满足 sDDn)(120)(12BBn0)(12EEnsJHHn)(12其中单位矢量由介质 1 指向介质 2。若是两种理想介质，则分界面上0s，0sJ 。若介质 1 为理想介质，则01111BHED 。 2-1. 这题的解放在第四章中 2-2. 据高斯定理 1rr 01dsE01E21rrr )(343 13 2rrdsEf)(3443 13 22rrErf )(33 13 22rrrEf33 13 2)(3rrrrEf2rr 03 13 231)(34 rrdsEf33 13 2 03)(3rrrrEf极化体密度： 据 Dpp)1 (0 D) 1(0 可得: fp) 1(0 21rrr 0p 1rr , 2rr 极化面电荷密度： 据 )(12ppnp 1rr 01E0p 2rr fprrr)1 (30 2 23 13 2 2-3. 证： ), (dvrtrdtd dtpdv ), (dvrtrdtdv ), (dvrttrv dvrJz vy vx vedvzJedvyJedvxJ)()()( xe分量： dvJxJxdvxJ vv) ()( )(dvJdsJx vxs 上式第一项为封闭曲面，即边界面。边界面上无电流流出，故 sdsJx0 。则 )(dvJdvxJ vxv同理 )(dvJdvyJ vyv)(dvJdvzJ vzv因此 vzvzyvyxvxdvJedvJedvJedvJdtdp2-4. 解：由安培环路定理： 1rr 01dlB L01B21rrr )(2 12 2rrJdlBfL)(22 12 2rrJrBf fJrrrB2)(2 122rJrrrBf22 1222)(2rr LfrrJdlB)(2 12 23)(22 12 23rrJrBf rJrrrBf22 12 2 32)(磁化电流： 由 MM BBM000)11( HHM021rrr 2 00 2 00)(BBMJM fJ00 fJ) 1(021,rrrr 0MJ磁化面电流密度： )(21MMnJSM 1rr 0MJ2rr 2 00 1)(BnMnJSM )(2)(1(2 22 12 20rrJrr rrrf frrr)2)(1(22 12 20 2-5. fpDDp )1 ()1 ()1(0002-7. 由 D tDJHJJHtDDtt)()(0Jt2-9. 证： 证明的思路是从其中两个方程出发可导出另外两个方程。我们从两个旋度方出 发，导出两个散度方程 tBE （1） tDJH .（2） ) 1 ( 设：0)()(BtE).(zyxCB C 相对时间 t 而言是常数，由初始条件确定。 假设初始时刻0B 或B 常矢（稳恒场） 则 0 B0).(zyxC )2( 设：)(DtJH )(DtJ 由电荷守恒定律 tJ得： D波动方程的推导 对（1）式两边求旋 )()(HtBtE )()(2 tDJtEE 22 2)(tE tJEtJ tEE22 2以上推导中利用了矢量恒等式及其 D, tDJH同理可推出关于磁场满足的方程 )()()(EtJDtJH )()(2 tB tJHH )22 2 tHJH JtHH22 2 2-11. 据边界条件： nnDD21 ttEE21 222111coscosEE 2211sinsinEE 两式之比 2121 tgtg2-12. tDJH DtBJEmmB