第四章 刚体的转动 4-1 刚体的定轴转动1.平动:在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置 都相互平行ABABB”A”刚体的平动任意质元运动都代表整体运动2. 定轴转动刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动刚体的平动和定轴转动用质心运动代表刚体的平动 （质心运动定理）用角量描述转动1) 角位移 : 在 t 时间内刚体转动角度2)角速度 : 3)角加速度 :z刚体定轴转动角速度的方向按右手螺旋法则确定3切向分量 法向分量 zO4. 线量与角量关系匀变速直线运动匀变速定轴转动4-2 质点的角动量 角动量守恒定律1. 定义:称为一个质点对参考点O的 质点角动量或质点动量矩一 质点的角动量 例：自由下落质点的角动量任意时刻 t， 有 （1） 对 A 点的角动量（2） 对 O 点的角动量2. 质点的角动量定理角动量的时间变化率力矩定义：对o点力矩质点的角动量定理大小质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率二 质点角动量守恒定律则或若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，, 则质点对 该固定点的角动量矢量保持不变。若质点的角动量定理质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？例：例 试利用角动量守恒定律:1) 证明关于行星运动的开普勒定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等 的时间内扫过的面积相等, 即掠面速 度不变.(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.(1) 行星对太阳O的角动量的大小为其中是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.表示时间内行星所走过的弧长, 则有若用表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有用证明时间内行星 与太阳间的联线所扫过的面 积, 如图中所示.其中 是其中 d /dt 称为掠面速度.由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构*三 质点系的角动量定理mimjm10质点系角动量第i个质点角动量的时间变化率质点系的角动量定理时质点系的角动量守恒1.质点系角动量由得以上两式先后代入前式0c因为这里*四 质心参考系中的角动量（质心相对质心的位矢为0）质点系角动量可以表示为其中也叫固有角动量2.质心参考系的角动量定理对定点O：由由质心运动定理即质心参考系的 角动量定理（对质心的合外力矩等于对质心的角动量的时间变化率）质心可以是动点，上式对非惯性系也成立！前面的角动量定理只对固定点和惯性系才成立注意：2.质心参考系的角动量定理对定点O：由注意:1) 若质点所受外力是 有心力, 即沿着或背着 这时质点系的角动量守恒2) 若质点系所受外力是重力, 即则在质心参考系中, 角动量总是守恒的3) 角动量定理、角动量守恒式都是矢量式，它们对每个分量都成立的方向,4-3 刚体定轴转动定律质点系的角动量定理Z轴分量质元对O点的力矩（垂直z轴）zO （垂直z轴）质元到转轴的垂直距离刚体到转轴的转动惯量对固定轴zO刚体定轴转动定律与牛顿第二定律对比刚体到转轴的转动惯量转动惯量的物理意义:1. 刚体转动惯性大小的量度 2. 转动惯量与刚体的质量有关3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关 4. J与转轴的位置有关 对比刚体的角动量和质点的动量与对应转动惯量的计算称为刚体对转轴的转动惯量对质量连续分布刚体线分布 面分布体分布是质量的线密度是质量的面密度是质量的体密度例: 一均匀细棒长 l 质量为 m1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒求: 上述两种情况下的转动惯量oZ 1解: 棒质量的线密度所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义oZ 2l有关转动惯量计算的几个定理1） 平行轴定理zh式中: 关于通过质心轴的转动惯量m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量2） 垂直轴定理0对于薄板刚体, C薄板刚体对 z 轴的转动惯量等于对 x 轴的转动惯量与对 y 轴的转动惯量之和3） 转动惯量叠加, 如图式中:是A球对z轴的转动惯量是B棒对z轴的转动惯量是C球对z轴的转动惯量4） 回转半径任意刚体的回转半径式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量, m 是刚体的质量ACz Bo例:G 不是质心CG转动惯量的计算例:均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:解:设圆盘半径为 R, RrdsZ则质量面密度总质量为 m,刚体定轴转动定律的应用Rm1m2已知： 滑轮M（看成匀质圆盘）半径R物体 m1 m2 求：a =?am1gm2gT解：对否？T1T2T否则滑轮匀速转动，而物体加速运动T1T2转动定律线量与角量关系M1.m O已知：2.匀质杆m长下落到时求：解：C质心运动定理转动定律质心运动定理4-4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理OdrP刚体的转动动能定轴转动动能定理力矩作功力矩的功率4-5 对定轴的角动量守恒角动量定理1 质点由微分式积分式2 质点系由微分式积分式3 定轴转动刚体积分这里定轴转动刚体角动量守恒OMm已知： 匀质杆M长子弹m 水平速度求：射入不复出解：对M m系统系统角动量守恒进动据刚体的角动量定理有:同方向重力矩式中:是陀螺质心的位置矢量, 与自转轴同向, 故与平行时间内,的变化为:角动量顶端绕一水平圆周运动把自转轴绕一竖直轴的这种转动, 称为旋进或进动.zr sin rczL sin(a)(b)(c)与陀螺仪若转子稍不对称, 就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏, 所以设计转子精度要高.应用: 航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等.它们的转子速度达万转每分;