华南师范大学硕士学位论文符号空间一类稠密混沌系统的矩阵刻画姓名：符和满申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：熊金城20050501华南师范大学硕士学位论文答辩合格证明学位申请人痘垩! 通向本学位论文答辩委员会提交题为! 瘟墨望圆二主竭鳖选鱼盔函豳簦醢訇亘2 的硕士论文，经答辩委员会审议，本论文答辩合格，特此证明。耋蔫? 篮签名主席】司( 缁 委协论文指导老师( 签名) ：知，年石月f日摘要本文运用矩阵作为工具对符号空间有限型子转移具有稠密混沌的系统作了具体的刻画，得到了些结论A b s t r a c tI ns y m b o l i cs p a c ed e n s e c h a o t i cs y s t e m sw i t hr e s p e c tt os u b s h i f t so ff i n i t et y p ea r es t u d i e d U s i n gm a t r i c e sa st h em a i nt o o l ，w eg i v eac o n c r e t ed e s c r i p t i o no fs u c hs y s t e m s ，a n do b t a i ns o m ec o n c l u s i o n s 2序言f 一1 背景回顾“混沌”亦写成“浑沌”它足自然界中一火类现象，它比有序更为普通因为在现实中，绝大部分现象不是有序的、稳定的和平衡的，而是处于无序的、变化的和涨落起伏之中的1 9 世纪中期，自然科学家首先讨论混沌问题的是热力学热力学的平衡态实际上是一种混沌态此外，像布朗运动等现象也与混沌有关，都是一种混沌无序的状态1 9 世纪末2 0 世纪初，庞加莱在研究三体问题时遇到了混沌问题他把动力系统和拓扑学有机地结合起来，指出在三体问题中，其解在一定范围内是随机的实际上这是一种保守系统中的混沌1 9 6 3 年，美国著名的气象学家洛伦兹在数值实验中首先发现，在确定性系统中有时会表现出随机行为这一现象，他称为“决定论非周期流”呲在这一论点的支配下，洛伦兹曾提出：“气候从本质上是不可预测的”后来人们意谚 到，洛伦兹所发现的“决定论非周期流”现象其实就是一种混沌现象，揭示了气候系统对初始条件非常敏感，初始条件的极微小差别会导致巨大的天气变化这混沌运动的基本性质1 9 7 5 年，美籍华人李天岩和美国数学家J Y o r k 发表了题为“周期3 蕴涵混沌”的著名文章，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程他们在此文中绘出了混沌的一种数学定义，就是我们通常所说的L i Y o r k 混沌该定义从严格的数学意义上，阐述了混沌现象的复杂特征：不可数多的点，在同步迭代下，若即若离，飘忽不定，时而聚拢，时而分离文章标题中的“混沌”( c h a o ) 一词便正式出现在科学语汇之中自此以后，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌与混沌的各种性质和特点，以及借助于( 单) 多标度分形理论和符号动力学，进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结进入2 0 世纪9 0 年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，对混沌的研究不仅推动了其他学科的发展，而且其他学科的发展又促进了对混沌的深入研究混沌与其他学科相互交错，渗透，促进，使得混沌不仅在数学、生物学、物理学、信息科学，还在经济学、美术等多个领域得到广泛的应用动力系统是非线性科学的一个重要组成部分符号动力系统是由有限符3号空问上转移自映射所生成的迭代系统，是非常特殊的一类动力系统它具有广泛的应用，包括在混沌学、计算机科学乃至编码学等学科和分支中的应用，也包括在一般动力系统理论研究中的应用在动力系统研究中，符号动力系统既是一个重要研究对象，又同时是一个强有力的研究工具，它可以说是介于特殊系缆和一般系统之间的个窗口和试验区( 二) 文章概述不同领域的学者基于各自对混沌的理解，而对混沌作了各色各样的定义，至今还没有统一的定义在这些混沌定义中，较为著名的几个有：L i Y o r k 混沌向、D e w n e y 混沌【3 、熊意义下的混沌【1 1 】、分布混沌f 4 】、W i g g i n s 混沌【5 】等而通有混沌( g e n e r i cc h a o s ) 最先是L a s o t a 6 j 在研究为模拟血红细胞数目增长而建立的动力系统模型的混沌性质时引进的后来。从这个概念 H发，S n o h a ，8 】定义了6 通有混沌、稠密混沌f d e n s ec h a o s ) 及6 一稠密混沌正如下面的定义4 所看到的，这些概念都涉及到L i Y o r k e 对在积空自J 中的稠密程度对于紧致度量空间上的连续自映射，已有它们的关系图表如下：拓扑混合= 拓扑弱混合号5 - 通有混沌兮通有混沌UU6 一椭密混沌号稠密混沌辛L i Y o r k 混沌并且，M u r i n o v a 9 l 给出了是通有混沌而不是6 一通有混沌的例子而S n o h a 8 证明了对于区问自映射，正通有混沌、通有混沌和d 一稠密混沌均是等价的，并且提供了稠密混沌非通有混沌的例子本文运用矩阵作为工具，对符号空间有限型子转移具有稠密混沌的系统作了较为完整的刻画，得到了一些结论全文主要分为三部分第一部分是预备知识的简单总结第二部分是在拓扑传递系统的情形下讨论，得到了稠密混沌等价于拓扑混合( 定理1 ) ，因而此时稠密混沌系统相应的矩阵刻画是非平凡的本原矩阵；同时得到了，当方阵的阶不大于3 时，稠密混沌才与L i Y o r k 混沌等价第二部分是在般系统的情形下讨论，得到了稠密混沌的一个充要条件( 定理2 ) ，相应的矩阵刻画是对矩阵的下三角标准形附加一些特征而得4预备知识下面只给出一些主要的定义，更详尽的内容，可参阅文 1 0 或 1 9 】N 表示自然数集，也即非负整数集设T ：X x 是一个映射，其中x 是一个集合对于每一个n N ， 我们按如下方式归纳地定义一个映射p ，称为r 的第n 次迭代：令 T O ：X x 为恒同映射；对于每一个n l ，设p _ 1 已经定义好，令 T n = T 。T ”1 ，其中O 表示映射的复合运算定义1 设x 是一个拓扑空问，T ：X x 是x 上一个连续映射称 X 上的迭代映射序列P ，T 1 ，T n ，为X 上由T 生成的一个( 离散半) 动力系统，记作( x ，T ) 若y 是x 的一个非空闭子集，且T ( Y ) cY ，则把y 上的限制映射 T y ：Y y 所生成的系统( T I y ) 称为系统( x ，T ) 的子系统 对于每一点茹X ，集合 z ，T ( z ) ，p ( z ) ，) 称为z 在r 作用下的轨道定义2 设x 是一个拓扑空间，T ：X X 是连续自映射( 1 ) 如果对于任意非空开集U y ，存在n N ，使得了m ( u ) n y 口，则称丁为拓扑传递的：( 2 ) 如果对于任意非空开集以y ，存在N N ，使得当n N ，? ”( U ) n V 0 ，则称T 为拓扑混合的；( 3 ) 如果T T 是拓扑传递的，则称r 为拓扑弱混合的；( 4 ) 如果x 的每一点的轨道都在x 内稠密，则称T 为极小的定义3 设T ：X x 是紧致度量空间( X ，P ) 上一个连续映射X ，Y X 和J 0 如果l i m s u p p ( P ( z ) ，P ( ) ) 6 ，且l i m i n f p ( P ( z ) ，P ( ) ) = 0n _ o 。一w5则称( X ，Y ) 为一个模dL i Y o r k e 对如果存在某6 0 ，使得( z ，Y ) 是一个模dL i Y o r k e 对，则称( z ，Y ) 为 一个L i - Y o r k e 对( L i Y o r k ep a i r ) 所有模JL i Y o r k e 对组成的集合记为L Y ( Z6 ) ，所有L i Y o r k e 对组成的集合记为L Y ( T ) 设K 是x 的一个子集，如果对于任意的X ，Y K ，茁Y ，( X ，Y ) 是一个L i Y o r k e 对，则称是一个攀援集( s c r a m b l e ds e t ) 设G 是x 的一个子集，如果G ( 相对X ) 的余集是X 的第一纲集，则称G 是一个剩余集( r e s i d u a ls e t ) 定义4 设T ：X x 是紧致度量空问上一个连续映射，d 0 ( 1 ) 如果存在一个不可数的攀援集，则称T 是L i - Y o r k e 混沌的； ( 2 ) 如果L Y ( T ) 是x 2 的一个剩余集，则称T 是通有混沌( g e n e r i cc h a o s ) 的；( 3 ) 如果L Y ( T ，d ) 是x 2 的一个剩余集，则称T 是6 一通有混沌的；( 4 ) 如果L Y ( T ) 是x 2 的一个稠密集，则称T 是稠密混沌( d e n s ec h a o s )的：( 5 ) 如果L Y ( T ，d ) 是x 2 的一个稠密集，则称T 是6 一稠密混沌的根据定义可明显看到，d 一通有混沌蕴涵通有混沌和d 一稠密混沌而6 一稠密混沌蕴涵稠密混沌这又蕴涵L i Y o r k e 混沌设A = ( 。蚶) 。是N 阶非负方阵对任意的n 0 ，记A ”= ( 蚶) _ x N 定义5 设A = ( o 话) 是阶非负方阵 ( 1 ) 如果对任意的0 i ，J 0 ，使得( n ) 0 ，则称A 是不可约的( 2 ) 如果存在n o ，使得对任意的0si ，J 0 ，则称A 是本原的设N 2 ，令S = 0 ，l ，一，一l ，赋予离散拓扑，并称S 为由v 个符号组成的状态空问令6&：l |E其中对每一个i 兰0 ，& = S 则是一个紧致的可度量化的拓扑空间，称之为由N 个符号生成的( 单边) 符号空问E 上的转移自映射口为：f f ( X O X l ) = ( X l X 2 ) ，V 嚣= o o $ 1 一在上定义一个与其拓扑相容的度量P 如下：对于任意的z =茹o $ 1 ，翟= 珈翟1 ，+ N ，p ( z ，可) = o iL 拼z 。Y k = m i n i l x t 玑设A = ( a j ) j v 。_ 是一个阶o ，1 一方阵令E = z = 正o z l - E N I a 。+ 1 = 1 ，V i o 则E 是对口不变的闭子集令O “ A = d I E ，称之为由方阵A 所决定的有限型子转移命题1 对于任意的6 ，0 l ，刚对于任意的x = x o x l x 2EE A 及任意的i 0 ， x i A 【X m + i A舍有P ( a A ) 的元紊当且仅当d I m证( 必要性) 当d m 时，对丁任意的( x ，Y ) k 陋。 ，其中z = z I z t + l X i + 2 - X d A ，Y = 叭+ m 虮+ m + I Y i + m + 2 - I x i + r n A 令Y 2X i X i + l X 件2 - - X i + m - 1 Y l + m Y i m + 1则Y E 陬】 假设存在某个k 0 ，使得z = Y + 。+ k ，则南引理3 ， d 忡+