高等代数与解析几何8.2 8.2 矩阵的可对角化问题矩阵的可对角化问题矩阵的可对角化问题矩阵的可对角化问题高等代数与解析几何本节介本节介绍矩阵绍矩阵特征值特征值、特、特征向量征向量的概念,的概念,给出给出矩阵矩阵 可可对角化对角化的条的条件以及件以及矩阵化矩阵化为对角为对角形矩形矩阵的方阵的方法法. . 为为 下一节进一步研究线下一节进一步研究线性变性变换作好知识上的准备.换作好知识上的准备. 定义定义8.2.1 设设A是数域是数域K上的上的n阶方阶方阵阵. 如果对于如果对于 数数K ,存在非零列向量存在非零列向量x,使得使得Axx = =,那么那么 称为矩阵称为矩阵A的特征的特征值值(根根), x称为矩阵称为矩阵A的属于的属于特特征征 值值 的特征向量的特征向量. 说明说明., 0. 1言的言的特征值问题是对方阵而特征值问题是对方阵而特征向量特征向量 x()()2.,0,0.nAIA xIAA = =阶方阵阶方阵 的特征值的特征值 就是使齐次线性方程组就是使齐次线性方程组有非零解的有非零解的值值 即满足方程即满足方程的的 都是矩阵都是矩阵 的的特征值特征值高等代数与解析几何3.(),| 0ijAaIA = =若若1112121222120nnnnnnaaa aaaaaa = = ? ? ? ?我们我们把这把这个以个以 为未为未知量知量的的一一元元n次方次方程,称程,称为为矩矩 阵阵A的的特征方程特征方程. 其左端. 其左端|IA 是是 的的n次多项式次多项式记作记作( )Af ,称为矩阵,称为矩阵A的的特征多项特征多项式式. . 高等代数与解析几何( () )则有则有的特征值为的特征值为阶方阵阶方阵设设,. 4 21nijaAn ?= =;)1(221121nnnaaa+ + + += =+ + + +? .)2(21An= = ? 定理定理8.2.1高等代数与解析几何求矩阵求矩阵A的特征值与特征向的特征值与特征向量量的具体步骤为：的具体步骤为： 1. 求出求出矩阵矩阵A的全部特征值的全部特征值12,k ?； 2. 对于对于每个特征值每个特征值 ,求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组 12()0nIAxxx = ? ?的一个基础解系的一个基础解系12,n r ?,令令 1122,n rn rxkkk =+=+ + +? 则则0x 时时,x就是矩阵就是矩阵A的属于特征的属于特征值值 的特征向量的特征向量.高等代数与解析几何解解例1例1.3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 = =A的特征多项式为的特征多项式为A 31|13IA = 2(3)1 = =268(4)(2) = = = . 4, 221= = = 的特征值为的特征值为所以所以A1122,2310,1230x x = = = = 当当时时 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足高等代数与解析几何 = =+ + = = . 0, 02121 xxxx即即,21xx= =解得解得.111 = =p取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可211224,4310110,1430110xxxx = = = 当时当时 由由即即.11,221 = = = =pxx取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得11(0)2.kp k = =所以所以是对应于是对应于的全部特征向量的全部特征向量22(0)4.kp k = =所以所以是对应于是对应于的全部特征向量的全部特征向量高等代数与解析几何例例.201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 = =A解解. 1, 2321= = = = 的特征值为的特征值为所以所以A2110430(2)(1) ,102AIA += = = 的特征多项式为的特征多项式为12,(2)0,IA x = =当时当时 解解方方程程高等代数与解析几何, 1001 = =p 得基础解系得基础解系11(0)2.kp k = =所以所以是对应于是对应于的全部特征向量的全部特征向量231,()0,IA x = = =当当时时 解方程解方程, 1212 = =p 得基础解系得基础解系223(0)1.kp k =所以所以是对应于是对应于的的全部特征向量全部特征向量高等代数与解析几何例例 8.2.1 求矩阵求矩阵321222361A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解： 解： A的特征多项式为 的特征多项式为 321( )222361AfIA = =+ + +221022261 =+=+ + 121() 0221612 = =+ + + 121() 022042 = =+ 22()()(2) (4)2(2)8228 = =+ + = = + + 高等代数与解析几何所以所以A的特征值为的特征值为2312.4, = = = = 2( )(2) (4)Af = =+解方程解方程1()0IA x = =得矩阵得矩阵A的属于特的属于特征值征值14 = = 的全部特征向量为：的全部特征向量为：111(0 )kk ，其，其中中 113 23 1 = 高等代数与解析几何解方程解方程2()0IA x = =得矩阵得矩阵A的的属属于特征值 于特征值 232.=的全部特征向量为： 的全部特征向量为： 223323(,kkkkx=+=+是不是不全为零的常数）全为零的常数） ，其中，其中 23211,001 = 高等代数与解析几何定理定理 8.2.1 设设n阶矩阶矩阵阵()( )ijnAaM=? ?的特征的特征值为值为12,n ?( k 重重特特征值算作征值算作 k 个特征值个特征值) ,则则 （1）（1）12nA = =?； ； （2）（2）121122nnnaaa += =+ + + +?. . 证明证明证明证明由行列式的定义可知由行列式的定义可知, 矩阵矩阵 A 的特征多的特征多项式项式高等代数与解析几何111212122212nnnnnnaaa aaaIAaaa = ? ? ?因而因而, A 的特征多项式中的特征多项式中, n与与 n-1的系数由该项的系数由该项中中, 有一项是主对角线上有一项是主对角线上 n 个元素的乘积个元素的乘积( - a11) ( - a22) ( - ann)而其他各项至多含有主对角线上的而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素个元素.高等代数与解析几何| I - A | = n- (a11+ a22+ + ann) n-1+ + (-1)n|A| . 确定确定. 不难看出不难看出, n的系数为的系数为 1 , n-1的系数为的系数为-(a11+ a22+ + ann).另外另外, 在特征多项式中在特征多项式中令令 = 0 可得其常数项为可得其常数项为 |-A|= (-1)n|A| .故故高等代数与解析几何 1 1 2 2 n n= |= |A A|. |. 证毕证毕证毕证毕称称1nii ia= = 为矩阵为矩阵 A 的的迹迹迹迹, 记作记作 trA.由于由于 1, 2, , n是是 A 的的 n 个特征值个特征值, 所以所以| I - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .比较上述两式可得比较上述两式可得 1 1+ + 2 2+ + + + n n= = a a1111+ + a a2222+ + + + a annnn; ;高等代数与解析几何推论推论 8.2.2 n阶方阶方阵阵 A 可逆的充可逆的充要条件是要条件是 A的特征的特征 值均为非零数值均为非零数. 定义定义 8.2.2 方阵方阵()ijAa= =的的主主对角对角线元素的和线元素的和1122nnaaa+ +?称为称为A的迹的迹,记作记作tr( ).A 于是， 于是， tr12( )nA = =+ +?. 定定理理：相相似似的矩阵的矩阵有相有相同的同的特征特征多项多项式,式,因而因而有相有相 同的特征值. 同的特征值. 证 明 ：证 明 ： 设设,AB 则 存 在 可则 存 在 可 逆 矩 阵逆 矩 阵P使使1,PAPB = =从而从而 111( )()( ).BAfIBIPAPPIA PPIA PIAf = = = = = =高等代数与解析几何既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征 多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵有相同的行列式有相同的行列式有相同的行列式有相同的行列式. . 应该指出，此定理的逆是不对的，特征多项式应该指出，此定理的逆是不对的，特征多项式 相同的矩阵不一定是相似的相同的矩阵不一定是相似的.例如例如1011,.0101AB =