第七章第七章 应力状态理论与强度理论应力状态理论与强度理论本章重点本章重点1 1、应力状态的概念、应力状态的概念2 2、如何建立一点处的应力状态、如何建立一点处的应力状态3 3、平面应力状态分析、平面应力状态分析4 4、广义胡克定律、广义胡克定律5 5、强度理论的概念、强度理论的概念6 6、四种主要强度理论及其应用、四种主要强度理论及其应用问题的提出：问题的提出：铸铁铸铁低碳钢低碳钢思考：思考：塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁铸铁低碳钢低碳钢思考：思考：为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开螺旋面断开？直杆轴向拉伸时直杆轴向拉伸时: :FF圆轴扭转时圆轴扭转时: :A AB B P P横力弯曲的梁横力弯曲的梁: :FFFAFp经过一点不同方位平面上的应力分布不同经过一点不同方位平面上的应力分布不同一点处各方位截面上的应力情况的一点处各方位截面上的应力情况的集合集合该点的应力状态。该点的应力状态。7-7-1 1 应力状态的概念应力状态的概念一点处的应力状态：一点处的应力状态：受力构件内一点不同方位面上应力的集合受力构件内一点不同方位面上应力的集合单元体：单元体：边长为边长为无穷小量的正立方体无穷小量的正立方体（1 1）每个微面上应力分布可视作均匀；）每个微面上应力分布可视作均匀；（2 2）任一对相互平行微面上的应力可视作相等。）任一对相互平行微面上的应力可视作相等。轴向拉伸轴向拉伸扭扭 转转梁梁 的的 弯弯 曲曲主平面主平面（pincipalpincipal plane plane) ) ：剪应力为零的平面剪应力为零的平面主应力主应力 ( (pincipalpincipal stress stress) ) ：主平面上的正应力主平面上的正应力主方向主方向( (pincipalpincipal directions directions) ) ：主平面的法线方向主平面的法线方向可以证明：通过受力构件内的任一可以证明：通过受力构件内的任一 点，一定存在三个互相垂直的主平面。点，一定存在三个互相垂直的主平面。三个主应力用三个主应力用 1 1 、 2 2 、 3 3表示，按代表示，按代数值大小顺序排列，即数值大小顺序排列，即 1 1 2 2 3 3 应力状态的分类应力状态的分类单向应力状态单向应力状态( (UniaxialUniaxial Stress State) Stress State)三个主应力中只有一个不等于零三个主应力中只有一个不等于零二向应力状态二向应力状态（平面应力状态（平面应力状态( (Plane Stress State)Plane Stress State) ）两个主应力不等于零两个主应力不等于零三向应力状态三向应力状态（空间应力状态（空间应力状态( (Space Stress State)Space Stress State) ）三个主应力皆不等于零三个主应力皆不等于零单向应力状态也称为简单应力状态单向应力状态也称为简单应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态实实 例例 一一圆筒形薄壁压力容器，内径为圆筒形薄壁压力容器，内径为 D D、壁厚为壁厚为 t t，承受内压力承受内压力 p p 作用作用周向周向轴向轴向径向径向 i i ) )t tD Dp p( (mm l lmm t t 薄壁压力容器薄壁压力容器实例二实例二D2)tDp(ml实例三实例三圆球形薄壁容器，壁厚为圆球形薄壁容器，壁厚为 t t，内径为内径为D D，承受内压承受内压 p p 作用。作用。实例四实例四圆杆受扭转和拉伸共同作用圆杆受扭转和拉伸共同作用 p p= = =F FN N A AP P d d4 42 2按工程应用传统观念，判断构件强度取按工程应用传统观念，判断构件强度取 决于危险点的应力状态。决于危险点的应力状态。危险点是怎样达到破坏的呢？危险点是怎样达到破坏的呢？在什么方向最容易破坏呢？在什么方向最容易破坏呢？以下将从一点处应力状态分析中，找出以下将从一点处应力状态分析中，找出 哪个截面上有正应力极值，哪个截面上有哪个截面上有正应力极值，哪个截面上有 剪应力极值，以此作出构件强度的判据。剪应力极值，以此作出构件强度的判据。7-7-2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力解析法解析法 ：拉应力为正拉应力为正: : 顺时针转动为正顺时针转动为正 ：逆时针转动为正逆时针转动为正平衡原理的应用平衡原理的应用微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程平衡对象平衡对象用用 斜截面截取的微元局部斜截面截取的微元局部FF 平衡方程平衡方程A A x x -cos)cos( Ax-yA(sin )sinAA(cos )sinxyA(sin )cosyxyxdAqn nx-AxA(cos )sinxyA(cos )cos-yA(sin )cos-yxA(sin )sinyxdAqt t x注：三角公式注：三角公式讨论：讨论：应力不变量应力不变量剪应力互等剪应力互等斜截面上的应力公式斜截面上的应力公式斜截面上的正应力取极值条件斜截面上的正应力取极值条件斜截面上的正应力取极值条件斜截面上的正应力取极值条件可可确定两个主平面确定两个主平面极值极值正应力为主应力正应力为主应力极值极值正应力：正应力：极值极值正应力所在平面上剪应力等于多少？正应力所在平面上剪应力等于多少？零零您会计算极值剪应力吗？您会计算极值剪应力吗？ 其所在平面与极值正应力所在平面有何关系？其所在平面与极值正应力所在平面有何关系？二、斜截面上的应力二、斜截面上的应力图解法图解法应力圆应力圆莫尔莫尔( (MohrMohr) )圆圆根据已知单元体上的应力根据已知单元体上的应力 x x、 y y、 x x画应力圆画应力圆利用应力圆求任意斜截面上的应力利用应力圆求任意斜截面上的应力三种对应关系三种对应关系点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标 值对应着微单元体上某一方向面的值对应着微单元体上某一方向面的 正应力和切应力；正应力和切应力； 转向对应转向对应半径旋转方向与方向面半径旋转方向与方向面 法线旋转方向一致；法线旋转方向一致； 二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方半径转过的角度是方 向面旋转角度的两倍。向面旋转角度的两倍。点点 面面 对对 应应caA转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应Cq2qaAA ayx应力圆的画法在t-坐标系中，标定 x、y 平面（A、D 面） 上 应力对应的点a和d连ad交 轴于c点，c即为圆心，R为应力圆半径。ADa(x ,xy)d(y ,yx)cR圆心坐标加/减半径即为应力圆的应用应力圆的应用信息源信息源思维分析的工具思维分析的工具不是计算工具不是计算工具例1、请您用解析法与图解法求图示单元体(1)指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)极值剪应力值。单位：单位：MPaMPa40806060解：解：( (一一) ) 解析法解析法: :40806060x x、y y平面剪应力共平面剪应力共 同所指象限为正应同所指象限为正应 力极大值所在象限力极大值所在象限( (二二) ) 图解法图解法: :作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出：4040808060606060例例2 2、讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。铸铁铸铁低碳钢低碳钢低碳钢低碳钢铸铁铸铁解：解：oC C中垂线中垂线 0 0例例3 3、A A点处应力如图点处应力如图( (单位单位: :MPaMPa),),试用图试用图 解法确定该点处的主应力及所在截面方位。解法确定该点处的主应力及所在截面方位。A A262625252222 6060B BC Cb b( (60,2260,22) ) 1 1 2 2量得量得: : 1 1=70=70MPaMPa, , 2 2=10=10MPaMPa, , 3 3=0=0量得量得: :2 2 0 0=47=47 , , 0 0=23.5=23.5 2 2 0 0 1 1=70=70a a( (25,2625,26) ) 7-7-3 3 空间应力状态分析空间应力状态分析主单元体主单元体：六个平面都是主平面六个平面都是主平面首先分析平行于主应力之一（例如首先分析平行于主应力之一（例如 3 3 ）的的各斜截面上的应力。各斜截面上的应力。 3 3对斜截面上的应力没有影响。这些斜截对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力面上的应力对应于由主应力 1 1和和 2 2所画的应所画的应 力圆圆周上各点的坐标。力圆圆周上各点的坐标。若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力: :同理，在平行于同理，在平行于 2 2的各个斜截面上，的各个斜截面上， 其应力对应于由主应力其应力对应于由主应力 1 1和和 3 3所画的应力所画的应力 圆圆周上各点的坐标。圆圆周上各点的坐标。在平行于在平行于 1 1的各个斜截面上，其应力对的各个斜截面上，其应力对 应于由主应力应于由主应力 2 2和和 3 3所画的应力圆圆周上各所画的应力圆圆周上各 点的坐标。点的坐标。这样，单元体上与主应力之一平行的各这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应 力圆圆周上各点的坐标来表示。力圆圆周上各点的坐标来表示。与三个主方向都不平行的任意斜截面，与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力弹性力学中已证明，其应力 n n和和 n n可由图中可由图中 阴影面内某点的坐标来表示。阴影面内某点的坐标来表示。n n在三向应力状态情况下：在三向应力状态情况下： maxmax 作用在与作用在与 2 2平行且与平行且与 1 1和和 3 3的的方向成方向成 4545角的平面上角的平面上. .例例4 4、单元体各面上的应力如图所示单元体各面上的应力如图所示 ，试求主应力值和最大切应力值。，试求主应力值和最大切应力值。xyz40MPa20MPa20MPa30MPa解：由图知，z平面是一主平面， z 为主应力，另外二主应力与 z无关，将主应力大小排序为：最大切应力为：例例5 5、求图示应力状态的主应力和最大求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为剪应力（应力单位为MPaMPa）。）。20403050解：20403050例例6 6、求图示应力状态的主应力和求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位最大剪应力（应力单位MPaMPa）。）。解：解：50 50纯剪切应力状态纯剪切应力状态: :练习练习1 1：求图示应力状态的主应力和最求图示应力状态的主应力和最 大剪应力（应力单位为大剪应力（应力单位为MPaMPa）。）。120403030解：解：120403030 7-7-4 4 广义胡克定律广义胡克定律主要讨论各向同性材料的广义胡克定律主要讨论各向同性材料的广义胡克定律可以证明单元体沿坐标轴方向的线可以证明单元体沿坐标轴