163 第四章第四章第四章第四章 连续群及其表示连续群及其表示连续群及其表示连续群及其表示 实际要求实际要求实际要求实际要求：如平移和转动如平移和转动如平移和转动如平移和转动，无限小平移和转动无限小平移和转动无限小平移和转动无限小平移和转动，连续变量连续变量连续变量连续变量 特点特点特点特点：可同时采用代数方法可同时采用代数方法可同时采用代数方法可同时采用代数方法（矩阵矩阵矩阵矩阵、线性空间线性空间线性空间线性空间） 分析方法分析方法分析方法分析方法（常数和偏微常数和偏微常数和偏微常数和偏微、拓扑方法拓扑方法拓扑方法拓扑方法） 1. 拓扑群和李群拓扑群和李群拓扑群和李群拓扑群和李群 连续群的元素可由一组实参数连续群的元素可由一组实参数连续群的元素可由一组实参数连续群的元素可由一组实参数naaa,21标明标明标明标明，其中至少有一个参数在某区域中连续变化其中至少有一个参数在某区域中连续变化其中至少有一个参数在某区域中连续变化其中至少有一个参数在某区域中连续变化。这组参数对刻划群的所有元素应该是必需的且是足够的这组参数对刻划群的所有元素应该是必需的且是足够的这组参数对刻划群的所有元素应该是必需的且是足够的这组参数对刻划群的所有元素应该是必需的且是足够的， 换言之换言之换言之换言之， 不能以一组数目更少的参数描写不能以一组数目更少的参数描写不能以一组数目更少的参数描写不能以一组数目更少的参数描写。令连续参数的个数为令连续参数的个数为令连续参数的个数为令连续参数的个数为r（nr 1） ，） ，） ，） ，若此数是有限的若此数是有限的若此数是有限的若此数是有限的，则称则称则称则称连续群是连续群是连续群是连续群是r维的维的维的维的。 例例例例1. 所有实数的集合是一维连续群所有实数的集合是一维连续群所有实数的集合是一维连续群所有实数的集合是一维连续群。因为任一实数可由一个参数因为任一实数可由一个参数因为任一实数可由一个参数因为任一实数可由一个参数，如取值于区间如取值于区间如取值于区间如取值于区间 ),(+的的的的x标明标明标明标明。 （所有复数的集合则是二维连续群所有复数的集合则是二维连续群所有复数的集合则是二维连续群所有复数的集合则是二维连续群） 例例例例2. 考虑如下考虑如下考虑如下考虑如下xx 的一个变量的线性变换的一个变量的线性变换的一个变量的线性变换的一个变量的线性变换 baxx+=， ba,),(+，0a （1 1 1 1） 所有这种变换的集合是一个两参数群所有这种变换的集合是一个两参数群所有这种变换的集合是一个两参数群所有这种变换的集合是一个两参数群，其元素可用其元素可用其元素可用其元素可用),(baT记之记之记之记之： ),(baTx=bax + （2） 于是合成法则可以这样求得于是合成法则可以这样求得于是合成法则可以这样求得于是合成法则可以这样求得 xbaT),(33=),(11baT),(22baTx=),(11baT（1 122)bxabxa+=+ 12121bbaxaa+= （3 3 3 3） 可见可见可见可见 213aaa=， 1213bbab+= （4 4 4 4） 由此可见由此可见由此可见由此可见，单位元是单位元是单位元是单位元是)0 , 1 (T；逆元逆元逆元逆元：设设设设),(),(1baTdcT= ),(1baT),(baTx =),(1baTxbax=+)( ),1(),(ab aTdcT= 即即即即 ac1= ， abd= （5 5 5 5） （4 4 4 4）式中式中式中式中，3a，3b为为为为2211,baba的解析函数的解析函数的解析函数的解析函数； （； （； （； （5 5 5 5）式中式中式中式中，, c d为为为为ba,的解析函数的解析函数的解析函数的解析函数。 164 例例例例3. 三维实矢量空间中所有如下形式位移三维实矢量空间中所有如下形式位移三维实矢量空间中所有如下形式位移三维实矢量空间中所有如下形式位移的集合的集合的集合的集合 axx+=，byy+=，czz+=是一个三参数的三维连续群是一个三参数的三维连续群是一个三参数的三维连续群是一个三参数的三维连续群。),(cbaT为群算符为群算符为群算符为群算符。单位元是单位元是单位元是单位元是)0 , 0 , 0(T，逆元是逆元是逆元是逆元是),(cbaT。 例例例例4. 考虑如下形式的两变量齐考虑如下形式的两变量齐考虑如下形式的两变量齐考虑如下形式的两变量齐次线性变换次线性变换次线性变换次线性变换 yaxax1211+= yaxay2221+= 或写成矢量式或写成矢量式或写成矢量式或写成矢量式 =rAr（6） 其中其中其中其中0det=ijaA，这是四参数连续群这是四参数连续群这是四参数连续群这是四参数连续群，是二维线性群是二维线性群是二维线性群是二维线性群)2(GL，矩阵乘法下同构于全体二阶非矩阵乘法下同构于全体二阶非矩阵乘法下同构于全体二阶非矩阵乘法下同构于全体二阶非奇异矩阵群奇异矩阵群奇异矩阵群奇异矩阵群。 例例例例5. 考虑考虑考虑考虑n个变量的齐个变量的齐个变量的齐个变量的齐次线性变换次线性变换次线性变换次线性变换（例例例例 4 的推广的推广的推广的推广） =njjijixax11in ，0ija （7） 这是这是这是这是2n个参个参个参个参数的连续群数的连续群数的连续群数的连续群，又又又又称为称为称为称为n维线性群维线性群维线性群维线性群)(nGL。 例例例例6. 绕绕绕绕某个轴转动的集合是一维连续群某个轴转动的集合是一维连续群某个轴转动的集合是一维连续群某个轴转动的集合是一维连续群，以以以以为参数为参数为参数为参数，取值在取值在取值在取值在,或或或或2 , 0， 这个群记为这个群记为这个群记为这个群记为)2(SO；绕空间某固定点的转动集合记为绕空间某固定点的转动集合记为绕空间某固定点的转动集合记为绕空间某固定点的转动集合记为) 3(SO。 1 1 1 1- - - -1 1 1 1 拓扑群拓扑群拓扑群拓扑群（流形流形流形流形)manifold 1. 定义定义定义定义 讨论群元素的连续性质讨论群元素的连续性质讨论群元素的连续性质讨论群元素的连续性质，须引入拓扑概念须引入拓扑概念须引入拓扑概念须引入拓扑概念。 我们只讨论这样的群我们只讨论这样的群我们只讨论这样的群我们只讨论这样的群：其元素可与其元素可与其元素可与其元素可与r维实内积空间的某个子集维实内积空间的某个子集维实内积空间的某个子集维实内积空间的某个子集rS的点建立起一的点建立起一的点建立起一的点建立起一 一对应关系一对应关系一对应关系一对应关系，称此子集为参数空间称此子集为参数空间称此子集为参数空间称此子集为参数空间。 令令令令x，x等为群元素等为群元素等为群元素等为群元素，)(),(xpxp是是是是G的元素对应的元素对应的元素对应的元素对应的的的的rS中的点中的点中的点中的点，称为称为称为称为x，x 的像的像的像的像-映射映射映射映射（mapping） 。 现考虑现考虑现考虑现考虑rS中中中中)(xp的一个邻域的一个邻域的一个邻域的一个邻域，它是满足下列条件它是满足下列条件它是满足下列条件它是满足下列条件： ，可以找到实数可以找到实数可以找到实数可以找到实数0，使使使使2x的邻域的邻域的邻域的邻域 Z中的所有元素中的所有元素中的所有元素中的所有元素x（即所有满足即所有满足即所有满足即所有满足，把它看成是转角把它看成是转角把它看成是转角把它看成是转角从从从从0逐渐增大完成的逐渐增大完成的逐渐增大完成的逐渐增大完成的，相应的正相应的正相应的正相应的正图图图图 4.5 174 交 矩 阵交 矩 阵交 矩 阵交 矩 阵()()(ijkCCM=?的 矩 阵 元的 矩 阵 元的 矩 阵 元的 矩 阵 元)3 , 2 , 1,)(=jiCij在 区 间在 区 间在 区 间在 区 间, 0上 连 续上 连 续上 连 续上 连 续 。 ()(detkCM?在区间在区间在区间在区间, 0上连续上连续上连续上连续。 由前结论由前结论由前结论由前结论1det=M，显然显然显然显然ECk=)0(?()1)0(det+=kCM?若若若若存在存在存在存在某一个某一个某一个某一个1，使使使使()1)(det=kCM?，据中值定理据中值定理据中值定理据中值定理，在在在在), 0(1间间间间必有必有必有必有10mm，则则则则0k（第二因子决定第二因子决定第二因子决定第二因子决定，k非负非负非负非负） 。） 。） 。） 。k的的的的上限受制于第一上限受制于第一上限受制于第一上限受制于第一、 第三个阶乘因第三个阶乘因第三个阶乘因第三个阶乘因子子子子， 考查考查考查考查mj +和和和和mj， 显然显然显然显然k之上限之上限之上限之上限)(),(minmjmj+=，即即即即mjmjkmm+,min, 0max。 表示表示表示表示()b84是是是是12 +