现代控制理论 Modern Control Theory第二章 线性系统的状态空间描述第二章 线性系统的状态空间描述 Chapter 2 State Space Description of Linear System教学内容 Contents2.1 概述概述2.2 系统描述中常用的基本概念系统描述中常用的基本概念2.3 系统状态空间描述常用的基本概念系统状态空间描述常用的基本概念2.4 LTI连续系统状态空间表达式的建立连续系统状态空间表达式的建立2.5 线性变换和约当型线性变换和约当型2.6 LTI连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解2.7 系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵2.1 概述? 控制理论主要研究动态系统的系统分析、优化和综合等问题。控制理论主要研究动态系统的系统分析、优化和综合等问题。2.1 概述2.1 概述?动态系统(动力学系统)动态系统(动力学系统) 能储存输入信息能储存输入信息(或能量或能量)的系统的系统 ?例如：例如： 含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统 含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能量含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能量的刚体力学系统的刚体力学系统 存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统 ? 动态系统动态系统(动力学系统动力学系统) vs. 静态系统静态系统(静力学系统静力学系统):? 静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入 例如例如:电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比? 动态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影响的叠加，即与系统的初始条件也有关系动态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影响的叠加，即与系统的初始条件也有关系 例如例如:电容两端的电压等于流过电容的（当前及过去的）电 流的积分值与电容值之比电容两端的电压等于流过电容的（当前及过去的）电 流的积分值与电容值之比 连续系统的动态系统数学模型含有积分器或微分器连续系统的动态系统数学模型含有积分器或微分器2.1 概述2.1 概述?进行动态系统的分析和综合时，首先应建立系统的 数学模型。进行动态系统的分析和综合时，首先应建立系统的 数学模型。? 在控制领域内，数学模型指能描述系统动态特性的数学表达式，常见的有微分方程、差分方程、传递函数等；在控制领域内，数学模型指能描述系统动态特性的数学表达式，常见的有微分方程、差分方程、传递函数等；? 这种数学表达式亦称为系统的这种数学表达式亦称为系统的动态方程动态方程。2.1 概述2.1 概述? 建立数学模型的主要方法建立数学模型的主要方法: ? 机理分析建模机理分析建模 按照系统的实际结构，工作原理，并通过某些决 定系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社 会和经济发展规律，以及各种物料和能量的平衡 关系等建立系统模型。按照系统的实际结构，工作原理，并通过某些决 定系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社 会和经济发展规律，以及各种物料和能量的平衡 关系等建立系统模型。 ? 实验建模实验建模(系统辨识系统辨识) 通过在系统实验或实际运行过程中取得的能反映 系统动态行为的信息与数据，用数学归纳处理的 方法建立系统模型。通过在系统实验或实际运行过程中取得的能反映 系统动态行为的信息与数据，用数学归纳处理的 方法建立系统模型。2.1 概述2.1 概述?不同的建模目的，采用不同的数学工具和描述方式，以及对模型精度的不同要求，都会导致数学模型的不同。不同的建模目的，采用不同的数学工具和描述方式，以及对模型精度的不同要求，都会导致数学模型的不同。 ? 一个实际的系统可以用不同的数学模型描述。一个实际的系统可以用不同的数学模型描述。 例如，严格说来，大多数实际系统都是非线性的，而且是分布参数的例如，严格说来，大多数实际系统都是非线性的，而且是分布参数的 ?过多地考虑这些因素，则模型含有复杂的非线性微分方程或偏微分方程，给系统分析、设计和实现造成很大的困难。过多地考虑这些因素，则模型含有复杂的非线性微分方程或偏微分方程，给系统分析、设计和实现造成很大的困难。?过度地简化和近似会影响模型精度，以及模型在分析、综合中的应用效果。过度地简化和近似会影响模型精度，以及模型在分析、综合中的应用效果。2.1 概述2.1 概述?在给定的容许误差范围内，用线性特性、集中参 数的形式进行近似，可以大大简化模型的复杂程 度，使模型能有效地运用到系统分析、设计中。在给定的容许误差范围内，用线性特性、集中参 数的形式进行近似，可以大大简化模型的复杂程 度，使模型能有效地运用到系统分析、设计中。? 合理的数学模型：折中考虑准确性和简化程 度，抓住主要因素，忽略次要因素，在现实条 件和可能性下，在一定精度范围内，同时满足 实际的应用目标、条件(工具)与环境。? 最好的模型并不是最精确、最复杂的，合适的 才是最好的。2.1 概述2.1 概述?本章需解决的问题与难点本章需解决的问题与难点:? 基本概念基本概念: 状态、状态空间状态、状态空间? 状态空间模型状态空间模型-状态空间模型及其意义状态空间模型及其意义? 如何建立状态空间模型如何建立状态空间模型 由机理出发由机理出发 由微分方程出发由微分方程出发 由传递函数出发由传递函数出发 由系统结构图出发由系统结构图出发 ? 状态空间变换状态空间变换 特征值、特征向量与特征空间特征值、特征向量与特征空间 状态空间变换状态空间变换 ? 传递函数矩阵传递函数矩阵2.1 概述2.1 概述2.2 系统描述中常用的基本概念(1)(1)松弛性松弛性 RelaxednessyuH:),(),(= = Huy其中：其中：H为算子，为算子， H将输入空间映射到输出空间将输入空间映射到输出空间t0时刻松弛的系统：时刻松弛的系统：定义：定义：若系统的输出由输入 唯一确定，则称若系统的输出由输入 唯一确定，则称系统在系统在t0是松弛的是松弛的。)(0tttu )(0ttty ),)(),)(00 = = tttHuttty或：或：初始松弛的系统初始松弛的系统：),),00= =ttHuyHuy简写为：简写为：2.2 系统描述中常用的基本概念2.2 系统描述中常用的基本概念= =系统在系统在t0松弛：系统在松弛：系统在t0时不储存能量，在时不储存能量，在t0时刻时刻 初始条件为零初始条件为零。物理含义物理含义例2.21例2.21若一个RLC电路中所有电容电压和电感电流在若一个RLC电路中所有电容电压和电感电流在t0时 刻均为零（即初始条件为零），则称该时 刻均为零（即初始条件为零），则称该电路在电路在t0时刻是松弛的时刻是松弛的。若系统不松弛，则其输出由输入和初始条件共同决定。若系统不松弛，则其输出由输入和初始条件共同决定。2.2 系统描述中常用的基本概念2.2 系统描述中常用的基本概念(2)(2)因果性因果性 CausalityCausality=tHutyt,)(),(初始松弛的因果系统：初始松弛的因果系统：t0时刻松弛的系统：时刻松弛的系统：0),(,)(0ttHutytt=定义：定义：若系统在若系统在 t 时刻的输出仅取决于在时刻的输出仅取决于在 t 时刻 之前的输入，而与时刻 之前的输入，而与 t 时刻之后的输入无 关，则称系统具有时刻之后的输入无 关，则称系统具有因果性因果性。2.2 系统描述中常用的基本概念2.2 系统描述中常用的基本概念(3)(3)线性线性 Linearity定义定义：一个松弛系统一个松弛系统, 当且仅当对任何输入当且仅当对任何输入 u1和和 u2及任意常数及任意常数 均有均有:可加性可加性 (addititivity/superposition property):齐次性齐次性 (scaling/homogeneity property):则称该系统为线性的。则称该系统为线性的。2121)(HuHuuuH+ += =+ +11()()HuH u = =2.2 系统描述中常用的基本概念2.2 系统描述中常用的基本概念(4)(4)定常性(时不变性)定常性(时不变性)Time Invariance定义定义: 一个松弛系统当且仅当对任何输入一个松弛系统当且仅当对任何输入 u 和任意实数和任意实数 , 均有均有其中其中：Q 位移算子位移算子)()()( = = =tutuQtu)()()( = = =tytyQtyyQHuQuHQy= = = =则称系统是则称系统是定常的定常的或或时不变的时不变的。2.2 系统描述中常用的基本概念2.2 系统描述中常用的基本概念)(tu)(tutt)(tu)(ty)(tytt)(ty2.2 系统描述中常用的基本概念2.2 系统描述中常用的基本概念2.3 系统状态空间描述的基本概念 2.3.1 系统的状态和状态变量系统的状态和状态变量 2.3.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型 2.3.3 线性系统状态空间模型的结构图线性系统状态空间模型的结构图 T nxxx,X21?= = T qyyy,Y21?= =传递函数，高阶微分方程传递函数，高阶微分方程状态空间描述状态空间描述状态方程输出方程状态方程输出方程系统的外部描述系统的外部描述:系统的内部描述系统的内部描述:1u1y2yqy2upu?T puuu,U21?= =2.3.1 系统的状态和状态变量2.3.1 系统的状态和状态变量状态变量状态变量 2.3.1 系统的状态和状态变量x1, x2, xn以连续系统为例：以连续系统为例：多输入多输出系统：多输入多输出系统：状态空间模型的三种变量状态空间模型的三种变量? 字面意思：字面意思：系统过去、现在和将来的运动状况。系统过去、现在和将来的运动状况。 ? 定义：定义： 动态系统的状态，是指系统在动态系统的状态，是指系统在时间域时间域中的中的动态动态行为或运动信息的集合。行为或运动信息的集合。状态状态 (state):2.3.1 系统的状态和状态变量2.3.1 系统的状态和状态变量 以连续系统为例：以连续系统为例： 状态方程状态方程（状态变量与输入变量之间的（状态变量与输入变量之间的一阶微分一阶微分方程组）方程组）umxmbxmkx1 212+=+=?21xx = =?输出方程输出方程（输出变量与系统状态变量及输入变量之间的（输出变量与系统状态变量及输入变量之间的 代数方程代数方程）2xy = =状态变量状态变量(State variable):?定义定义:能能完全描述完全描述系统系统运动状态运动状态的的独立的独立的、数目最少数目最少的一组变量称作状态变量。的一组变量称作状态变量。?完全描述：完全描述：给定描述状态的变量组在初始时刻给定描述状态的变量组在初始时刻 (tt0)的值和初始时刻后的值和初始时刻后(tt0)的输入，则系统 在任何瞬时的输入，则系统 在任何瞬时(tt0)的行为，即系统的状态，就 可以完全且唯一地确定。的行为，即系统的状态，就 可以完全且唯一地确定。?独立的：独立的：描述系统状态的变量组的各分量是相 互独立的。描述系统状态的变量组的各分量是相 互独立的。2.3.1 系统的状态和状态变量2.3.1 系统的状态和状态变量?数目最少的：数目最少的： ?减少变量，描述不全。减少变量，描述不全。 ?增加变量，则存在线性相关的冗余变量。增加变量，则存在线性相关的冗余变量。? 若至少需要若至少需要 n 个变量才