中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学(C)(1) 课程试卷(A) 第 1 页 共 4 页 装 订 线 中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学（C）(1) 课程考试试卷（A） 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2009 年_1_月_9_日 9 时 考试形式：闭卷、开卷 允许带 铅笔、橡皮、钢笔、胶带纸等入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 题序 一 二 三 四 五 总分 得分 评卷人 一、单项选择题（每题一、单项选择题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 1. 当0x 时，2( )(1 cos )sinf xxx与( )是同阶无穷小量。 （A）3x（B）4x（C）5x（D）2x2. 设)0(sinln)(aaaxxfx, 则)(xf 为： ( ) （A）1cosxaax （B）1lncosxaaax （C）1lnxaax （D）1xax 3对函数 . 0, 0, 0,1sin2xxxxy 在点0x 处正确的说法是 （ ） (A) 在点0x 处是不连续的， (B) 在点0x 处是连续的,但不可导， (C) 在点0x 处是不连续的,但是可导的, (D) 在点0x 处是连续可导的。 4设常数0k，则函数kexxxf ln)(在区间),0(内有 （ ）个零点 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5若( )( )f x dxF xC，且3xy，则( )f y dy （ ） (A) ( )F yC； (B) ( )F xC； (C) 3 ( )F xC； (D) 3()F yC二、填空题（每二、填空题（每空空 3 分，共分，共 15 分）分） 1. 不定积分2(sin3)xx dx_ 中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学(C)(1) 课程试卷(A) 第 2 页 共 4 页 2、极限xxx11lim 0= _ 3. 已知23xye，则n阶导数 ( )ny _ 4 1013limx xx _ 5. 设2)2( f，则xfxfx2)2()2(lim 0_ 三、计算题（三、计算题（每题每题 7 分，分，共共 63 分）分） 1、设有隐函数0xyeyx，求dy dx2、求极限 3 0sincoslim xxxx x3、求不定积分 232dxxx中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学(C)(1) 课程试卷(A) 第 3 页 共 4 页 装 订 线 4、求函数1xyxe 的图形的凹、凸区间及拐点 5、已知函数 1,1,)(2xbaxxxxf ，求, a b使函数( )f x在1x 处可导。 6、求不定积分lnxxdx7、设函数( )f x在xa处可导，且( )0f a ，计算 0ln()ln( )lim xf axf a x中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学(C)(1) 课程试卷(A) 第 4 页 共 4 页 8、已知直角三角形的一直角边与斜边之和为常数a，要做一个面积为最大的直角 三角形，问怎样取三角形的各边？ 9、已知总收入函数为231603Rxxx，总成本函数为2162Cxx，其中x是产品 的产量，求获得最大利润时的产量和最大利润。 四、四、证明题（共证明题（共 7 分）分）设( )f x二阶可导，且在0, a内某点取到最大值，对一切0, xa 都有( )fxm，m是常数，证明：(0)( )ff aam 中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学(C)(1) 课程试卷(A) 第 5 页 共 4 页 中国计量学院 200 8 200 9 学年第 1 学期 高等数学（C）(1) 课程 试卷（ A ）参考答案及评分标准 开课二级学院：理学院，学生班级：08 国贸 1、2、3，08 产权 1、2，08 营销 1、2，教师： 何满喜 赵敏 一、单项选择题（每题一、单项选择题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 1、B 2、C 3、D 4、C 5、A 二、填空题（每二、填空题（每空空 3 分，共分，共 15 分）分） 1、3cosxxC 2、1 2 3、22nxe 4、3e 5、1 三、计算题（共三、计算题（共 63 分）分） 1解：10xyxydydyyexedxdx.(+3 分) (1)1xyxydyxeyedx 1 1xyxydyye dxxe.(+4 分) 2解：32 00sincoscoscossin 3limlim xxxxxxxxx xx(+3 分) 01sin1lim33xx x.(+4 分) 3解： 22324(1)dxdxxxx .(+3 分) 22(1)1arcsin22(1)d xxc x .(+4 分) 4. 解：11()(1xxyxex e 12)(xyex (+2 分) 令.0y，得2x ，当2x 时0y，当2x 时0y (+2 分) 得：函数曲线的凸区间为(,2，凹区间为2,)，拐点为1(2,2)e . (+3 分) 5. 解：因为函数 1,1,)(2xbaxxxxf 在1x 处可导必连续，即(1 0)fab， 中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学(C)(1) 课程试卷(A) 第 6 页 共 4 页 (1 0)1f 所以有1ba.(+3 分) 而(1 0)fa ，(1 0)2f ，由( )f x在点1x 处可导得2a ，又得 1b (+4 分) 6解：lnxxdx21ln()2xdx2211ln(ln )22xxxx dx. (+3 分) 2221111lnln2224xxxdxxxxC (+4 分) 7解：1000ln()ln( )1()()limlimlnlimln()( )( )xxxxf axf af axf ax xxf af a (+2 分) 又 ( )()( )11 ()( )( )00()()( )lim()lim(1)( )( )f af a xf a f a xf af axxxxf axf axf a f af a (+2 分) 0( )()( )1( )lim()( )( )( )0()( )(lim(1)( )xf af a xf afa f a xf axf af axf axf aef a (+2 分) 所以 100ln()ln( )()( )limlimln()( )( )xxxf axf af axf a xf af a (+1 分) 8已知直角三角形的一直角边与斜边之和为常数l，要做一个面积为最大的直角 三角形，问怎样取三角形的各边？ 解：设直角三角形的三边分别为cba,，其中ca,为直角边，并设lba。因为有 222cab，则面积allaabaacs221 21 21222， (+3 分) 所以2212222aalslal lal ，令0as ，则3la ，因此3,32lclb，223(35 )(2)ala ls lal ， ( )03als 所以 3la ，3,32lclb时直角三角形的面积为最大。 (+4 分) 9、已知总收入函数为231603Rxxx，总成本函数为2162Cxx，其中x是 产品的产量，求获得最大利润时的产量和最大利润。 解：设利润函数为( )L x，则( )L x231603xxx223131(6)54223xxxxx ( )L x2(354)xx ，令( )0L x，则6x ，9x （舍去） ， (+4 分) 由于( )L x(23)0x （定义域0x ） ，所以6x 是( )L x的最大值点， 中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学(C)(1) 课程试卷(A) 第 7 页 共 4 页 且有(1)198L (+3 分) 四、四、证明题（共证明题（共 7 分）分）设( )f x二阶可导，且在0, a内某点取到最大值，对一切0, xa 都有( )fxm，m是常数，证明：(0)( )ff aam 证明：设0, a是( )f x取到最大值的点，由可导，必有( )0f， .(+2 分) 对( )fx在0, 上用拉格朗日中值定理得，至少存在一点1(0, )，使得 1( )(0)()(0)fff， 得1(0)( )(0)()(0)ffffm .(+2 分) 对( )fx在 , a上用拉格朗日中值定理得，至少存在一点2( , )a，使得 2( )( )()()faffa， 得2( )( )( )()()()fafaffam a .(+2 分) 所以 (0)( )()ff amm ama 中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学(C)(1) 课程试卷(A) 第 8 页 共 4 页 装 订 线 中国计量学院 2008 2009 学年第 1 学期 高等数学（C）(1) 课程考试试卷（ B ） 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2009 年_1_月_9_日 9 时 考试形式：闭卷、开卷 允许带 铅笔、橡皮、钢笔、胶带纸等文具 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 题序 一 二 三 四 五 总分 得分 评卷人 一、单项选择题（每题一、单项选择题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 1函数232xxy的定义域为： ( ) （A）12xx或 （B）22xx或 （C）12xx且 （D）21xx或 2若( )( )f