中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第2 2章章 一元函数微分学一元函数微分学高等数学A2.1 导数及微分2.1.1 引例 2.1.2 导数概念 2.1.3 导数的几何意义 2.1.4 可导与连续的关系 2.1.5 求导数的例题 导数基本公式表 微积分学(calculus)以研究函数的微分和积分及其应用为主的一门数学学科微分学 1.物体运动时要求出它在任一时刻的速度和加速度2.研究光线通过透镜的规律时要求出光滑曲线上给定点的切线和法线3.研究炮弹的射程时要求出函数的最大值和最小值积分学研究曲线的长度、物体的体积、曲面的面积、以及天体间的引力等2.1 导数及微分2.1.1 2.1.1 引例引例 切线问题速度问题 2.1.2 2.1.2 导数的概念导数的概念定义 左右导数定义 区间上导函数定义 用导数定义求函数导数 用定义求导步骤用定义求导数习例1-52.1.3 2.1.3 导数的意义导数的意义几何意义物理意义2.1.4 2.1.4 可导与连续的关系可导与连续的关系2.1.5 2.1.5 求导数的例题求导数的例题 导数基本公式导数基本公式求导数的习例求导数的习例8-118-11连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例导数基本公式导数基本公式内容小结课堂思考与练习导数及微分一.引例 1.切线问题 割线的极限位置切线割线 MN 的斜率为2.速度问题 二、导数定义 (变化率)定义: 注意: 单侧导数(左右导数)左导数: 右导数: 注：单侧导数经常在研究分段函数分段点和区间端点的可导性时碰到, 并且有结论:(导函数)(2) 速度是路程函数的导数, 即 用定义求函数导数步骤:用导数定义求函数导数习例解:由导数定义得解: 注意: 解: 解:解:切线方程:法线方程:几何意义注意:此时切线与x轴平行;此时切线与x轴垂直.(2)当导数存在时, 一定能够找到切线; 反之, 当有切线时,不一定导数存在!解: 割线的斜率为所求点为 (2,4). 物理意义(非均匀变化量的瞬时变化率)变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.三、函数的可导性与连续性的关系 定理: -可导必连续证明: 注意: 解: 四、求导数的习例四、求导数的习例解: 所以 f (x) 在 x=0 处连续. 解: 因为 f(x) 在 x=1处连续,可得 由 f (x)在 x=1处可导,可得 解: 解: 连续函数不存在导数举例0例如,01例如,例如,011/1/导数基本公式导数基本公式（已学求导公式）（已学求导公式） : :内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.2. 增量比的极限;切线的斜率;思考题1函数在连续连续 点不可导导有哪些类类型？2函数在点可导导，是否函数在点的某个邻邻域内每一点可导导？3符号与4. 求哪些函数个别别点的导导数或左右导导数应应用导导数的定义义 ？在点不可导导，则则曲线线在点不存在切线线 。5. 若函数是否有区别？思考题参考答案课堂练习：习题2.1第2题(1)(2)、第6题、第7题练习参考答案