3.3 函数的最大值和最小值及应用举例主要内容 1.闭区间上连续函数的最大值和最小值. 2.函数在某区间内可导且有唯一极值点 时的极大值和极小值. 3.具体应用举例.1如果 函数f (x)的最大(小)值在开区间(a,b)内取得，则最大最小者即为f (x)在a, b上的最小值。求出函数在(a, b)内的全部驻点和不可导点的函数值，而不可导点也可能是极值点，内可导，则函数的最大值与最小值只可能在开区间 (a,b)内，或者在区间的端点 x = a,x = b处取得。设函数y = f (x)在闭区间a,b上连续， 在开区间(a, b)函数在开区间(a,b)内的极值点一定是函数的驻点，(小)值点一定是函数的极大(小)值点，又因为可导f (x) 在 a, b上的最大值，由此，将它们与端点的 函数值 f (a),f (b)加以比较，其中最大者即为一、闭区间上函数的最大值和最小值21.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较出最大值及最小值。最大(小)值的求法步骤.,)(,)(与最小值存在上的最大值在上连续，则在若函数baxfbaxf最大值M = maxf (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)最小值m = minf (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b) 其中 xi 为 f (x)在(a,b)内的所有驻点和不可导点。即3例1解计算比较得45二、函数在某区间内可导且有唯一极 值点的情形如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且 只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点， 那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最 大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值f(x0) Oa x0 b xyf(x ) yf(x0) Oa x0 b xyf(x ) y6例2解显然：由于函数在定义域内有唯一极值点，所以 函数的极大值就算函数的最大值.所以最大值为 ：7三、具体应用举例应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0) 是否是极值，就可以断定 f(x0)是最大值或最小值8例3铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？100kmDABC20km9先求y对x的导数：解方程y0，得x15(km)其中以y|x15380k为最小，因此当ADx15km时， 总运费为最省设ADx (km)，则 DB100x ，设从B点到C点需要的总运费为y，那么y5kCD3kDB (k是某个正数)，解10并且电路必有最大输出功率，从而可得函数解由电学知识可知， 消耗 在负载电阻R上的功率为 P = I2R, 其中I为回路中的根据欧姆定律又有 ，所以当负载电阻与内阻相等时，由于在(0,+)内函数只有一个驻点， 输出功率最大。例4电流强度。11在解决最大(小)值的实际应用问题时,可以采取以下步骤 ：再利用变量之间的等量关系列出函数关系式 y = f (x)，则可根据前面求最大(小)值的一般方法求解。(1)将问题中能取得最大(小)值的变量设为函数 y，而将与函数有关联的条件变量设为 x，并确定(2)求出函数再定义域内的驻点， 如果驻点只有一个，并且由题意可知函数在定义域内必定存在最大值 或最小值，则该驻点对应的函数值就是问题所求的最大值或最小值；如果驻点不止一个，函数的定义域。再判定函数是否在驻点处取得最 大值或最小值。12四、小结1.闭区间上连续函数的最大值和最小值.2.函数在某区间内可导且有唯一极值点时的极 大值和极小值.3.具体应用举例.作业：13