学案学案3 3 圆圆的的方方程程www.laomiaotan400315.com返回目录 1.圆的标准方程设圆心为C(a,b)，半径为r，则圆的标准方程为 ，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为 .(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 2.圆的一般方程（1）当 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，它表示圆心为 ，半径为 的圆.（2）当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点 ;（3）当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 .返回目录 D2+E2-4F0 不表示任何图形 ( )( )返回目录 3.点P（x0,y0）与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系(1)当(x0-a)2+(y0-b)2 r2时，点P在圆外;(2)当(x0-a)2+(y0-b)2 r2时,点P在圆上;(3)当(x0-a)2+(y0-b)2 r2时，点P在圆内. = 返回目录 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2 的圆的方程.【分析分析】先由条件确定选用圆的标准方程还是一般 方程，再由待定系数法确定常数大小.考点一考点一 求圆的方程求圆的方程 返回目录 【解析解析】设所求的圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，则圆心（a，b）到直线y-x=0的距离为 ，r2= +（ ）2，即2r2=（a-b）2+14. 由于所求的圆与x轴相切，r2=b2. 又所求圆心在直线 3x-y=0上，3a-b=0， 联立，解得a=1，b=3，r2=9或a=-1，b=-3，r2=9.故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.返回目录 【评析评析】求圆的方程时，据条件选择合适的方程形 式是关键.（1）当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用 一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数.（2）当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上 、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式.对应演练对应演练(1)已知ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,- 2),C(5,5),求其外接圆的方程;(2)已知圆C过点P(1,2)和点Q(-2,3),且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等,求圆C的方程.返回目录 (1)解法一解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由题意有-D+5E+F+26=0 D=-4-2D-2E+F+8=0 E=-25D+5E+F+50=0, F=-20.故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.返回目录 解得解法二解法二:由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中垂 线方程为x+y-3=0.圆心P是两中垂线的交点(2,1).半径r=|AP|= =5,所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.返回目录 返回目录 (2)解法一解法一:如图所示,由于圆C在两坐标轴上所截弦长相等, 即AD=EG,它们的一半也相等,即AB=GF.又AC=GC,RtABCRtGFC.BC=FC.设C(a,b),则|a|=|b|. 又圆C过点P(1,2)和Q(-2,3),圆心在PQ的垂直平分线上,即在y- =3(x+ )上,即在y=3x+4上,b=3a+4. a=-1 a=-2b=1 b=-2,r= 或5.故所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25,即x2+y2+2x-2y-3=0或x2+y2+4x+4y-17=0.返回目录 由知a=b,代入得或返回目录 解法二解法二:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.圆C过点P(1,2)和点Q(-2,3), 12+22+D+2E+F=04+9-2D+3E+F=0,E=3D-8F=11-7D.圆C的方程为x2+y2+Dx+(3D-8)y+11-7D=0.将y=0代入得x2+Dx+11-7D=0,圆C在x轴上截得的弦长为|x1-x2|=解得将x=0代入得y2+(3D-8)y+11-7D=0.圆C在y轴上截得的弦长为|y1-y2|= .由题意有 ,即D2-4(11-7D)=(3D-8)2-4(11-7D),解得D=4或D=2.故圆C的方程为x2+y2+4x+4y-17=0或x2+y2+2x-2y-3=0.返回目录 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两 点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标 及半径.【分析分析】（1）利用垂直列出坐标之间的关系，再 化为关于m的方程求解；（2）OPOQ得到O点在以 PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解；（3）利用 圆的性质列出m的方程求解.考点二考点二 圆的方程的综合问题圆的方程的综合问题 返回目录 返回目录 【解析解析】解法一：将x=3-2y，代入方程 x2+y2+x-6y+m=0，得5y2-20y+12+m=0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2满足条件：y1+y2=4，y1y2= .OPOQ，x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1，x2=3-2y2.x1x2=9-6（y1+y2）+4y1y2.m=3，此时0,圆心坐标为(- ，3)，半径r= .返回目录 解法二解法二：如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ， .O1M的方程为y-3=2(x+ )，即y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0， 则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.(- +1)2+（3-2）2+5= .m=3.半径为 ,圆心为( - ,3 ).解得M的坐标为（-1，2）.由方程组返回目录 解法三解法三：设过P，Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知，点O（0，0）在圆上.m-3=0,即m=3.圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0.即x2+（1+）x+y2+2(-3)y=0.圆心M( ),又圆在PQ上, +2（3-）-3=0,=1,m=3.圆心为( ，3)，半径为 .返回目录 【评析评析】 (1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的 几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化思路,简便运算 .(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值,即三种 解法围绕“列出m的方程”求m值.返回目录 对应演练对应演练如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点 M（2，0），AB边所在直线的方程为 x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程；（3）若动圆P过点（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹的方程.（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与 AB垂直，所以直线AD的斜率为-3.又因为点T（-1，1） 在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y-1=-3（x+1） ，即3x+y+2=0.x-3y-6=0，3x+y+2=0，因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0），所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又|AM|= 从而矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）2+y2=8.返回目录 解得点A的坐标为（0，-2），（2）由返回目录 （3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|=|PN|+2 ，即|PM|-|PN|=2 .故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2 的双曲线的左支.因为实半轴长a= ，半焦距c=2.所以虚半轴长b=从而动圆P的圆心的轨迹方程为 （x- ）.返回目录 考点三考点三 圆的最值问题圆的最值问题 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.【分析分析】方程x2+y2-4x+1=0表示圆心为(2,0)，半径为 的圆; 的几何意义是圆上一点与原点连线 的 斜率，y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,x2+y2 可看作是圆上一点与原点距离的平方 ， 可借助于平面几何知识，利用数形结合求解.【解析解析】解法一:（1）原方程化为(x-2)2+y2=3，表 示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设 =k，即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时 ，解之得k= .故 的最大值为 ，最小值为- .(2)设y-x=b，即y=x+b，当y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时 ，即b= -2 .故y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- .返回目录 (3)x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点及圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,故(x2+y2)max=(2+ )2=7+4 ,(x2+y2)min=(2- )2=7-4 .返回目录 解法二解法二:（1）同上.x=2+ cosy= sin y-x= sin-