四川省凉山州教育科学研究所 谌 业 锋 四川省特级教师 凉山州专家型教师 凉山州学术和技术带头人 中学高级教师 中小学教育研究室主任 西昌学院副教授 欢迎访问 业锋教育在线 http:/www.lsyf.cn 谌业锋主页 http:/jksyf.scxxt.com.cn （讲座幻灯课件请在网上下载，让我们一起思考！）电话：18981539788 E-mail：jksyf163.com四川省凉山州教育科学研究所 谌业锋l一、数学问题l二、数学问题解决l三、数学问题解决的教学策略一、数学问题l（一）对“数学问题”的理解l问题是数学的心脏。著名数学教育家波利 亚在数学的发现一书中曾给出问题明 确含义，并从数学角度对问题作了分类。l他指出，所谓“问题”就是意味着要去寻找 适当的行动，以达到一个可见而不立即可 及的目标。l牛津大词典对“问题”的解释是：指那 些并非可以立即求解或较困难的问题，那 种需要探索、思考和讨论的问题，那种需 要积极思维活动的问题。l在第六届国际数学教育大会上，“问题解 决、模型化及应用”课题组提交的课题报 告中，对“问题”给出了更为明确而富有 启发意义的界定，指出l一个问题是对人具有智力挑战特征的、 没有现成的直接方法、程序或算法的待 解问题情境。l该课题组主席奈斯还进一步把“数学问题 解决”中的“问题”具体分为两类：一类是 非常规的数学问题；另一类是数学应用 问题。这种界定现已经逐渐为人们所接 受。l我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们 的数学教育学里的“数学教育中 的问题解决”中，对什么是问题及问 题与习题的区别作了很好的探讨。l综上，对“问题”可以有以下几个方 面的理解和认识：1. 问题是一种情境状态。l这种状态会与学生已有的认知结构之间产 生内部矛盾冲突，在当前状态下还没有易 于理解的、没有完全确定的解答方法或法 则。l所谓有问题的状态，即这个人面临着他们 不认识的东西，对于这种东西又不能仅仅 应用某种典范的解法去解答，因为一个问 题一旦可以使使用以前的算法轻易地解答 出来，那么它就不是一个问题了。 2. 问题解决中的“问题”，并不包 括常规数学问题，而是指非常规 数学问题和数学的应用问题。l这里的常规数学问题，就是指课本 中既已唯一确定的方法或可以遵循 的一般规则、原理，而解法程序和 每一步骤也都是完全确定的数学问 题。 3. 问题是相对的。l问题因人因时而宜，对于一个人可能是 问题，而对于另一个人只不过是习题或 练习，而对于第三个人，却可能是所然 无味了。l随着人们的数学知识的增长、能力的提 高，原先是问题的东西，现在却可能变 成常规的问题，或者说已经构不成问题 了。 4. 问题情境状态下，要对学生本 人构成问题，必须满足三个条件:l（1）可接受性。指学生能够接受这个问 题，还可表现出学生对该问题的兴趣。l（2）障碍性。即学生当时很难看出问题 的解法、程序和答案，表现出对问题的 反应和处理的习惯模式的失败。l（3）探索性。该问题又能促使学生深入 地研究和进一步的思考，展开各种探究 活动，寻求新的解题途径，探求新的处 理方法。 5. 问题解决中的“问题”与“习题” 或“练习”是有区别的l其重要区别在于: l（1）性质不同。 l中学数学课本中的“习题”或者“练习”属于 “常规问题”，教师在课堂中已经提供了 典范解法，而学生只不过是这种典范解 法的翻版应用，一般不需要学生较高的 思考。因此，实际上学生只不过是在学 习一种算法，或一种技术，一种应用于 同一类“问题”的技术，一种只要避免了 无意识的错误就能保证成功的技术。 （2）服务的目的不同。l尽管有些困难的习题对大部份学生实际上也可 能是真正的问题，但数学课本中的习题是为日 常训练技巧等设计的，而真正的问题则适合于 学习发现和探索的技巧，适合于进行数学原始 发现以及学习如何思考。l因此，练习技巧与解真正问题所要达到的学习 目的不大相同，也正因为它们各自服务于一种 目的，所以中学教学课本中的“习题”、“练习”不 应该从课本中被除去，而应该被保留。l然而，解决了这些常规问题后，并不意味着已 经掌握了“问题解决”。 （二）好问题的“数学标准”l以问题解决作为数学教育的中心事实上集中体 现了数学观和数学思想的重要变化，也即意味 着数学教育的一个根本性的变革，正是在这样 的意义上，数学教育家伦伯格指出：解决非单 纯练习题式的问题正是数学教育改革的一个中 心论题。l那么，从数学教育的角度看，究竟什么是一个“ 好”的问题，它的标准该是什么？l一般来说，一个好问题标准应体现在以下三个 方面：1、应该具有较强的探究性l好问题能启迪思维，激发和调动探究意 识，展现思维过程。l如同波利亚所指出的“我们这里所指的问 题，不仅是寻常的，它们还要求人们具 有某种程度的独立见解、判断力、能动 性和创造精神”。l这里的“探究性（或创造精神）”的要求 应当是与学生实际水平相适应的，既然 我们的数学教育是面向大多数学生的。l因此，对于大多数学生而言，具有探索 性或创造性的问题，正是数学上“普遍的 高标准”，这又并非是“高不可及”的，而 是可通过努力得到解决的。l从这个意义上来说，我们这里说的好问 题并不是指问题应有较高的难度，这一 点与现在数学奥林匹克竞赛中所选用的 大部份试题是有区别的。l在竞赛中，“问题解决”在很大程度上所 发挥的只是一种“筛子”的作用，这是与 以“问题解决”作为数学教育的中心环节 和根本目标有区分的。 2、应该具有一定的启发性和可发 展空间l一个好问题的启发性不仅指问题的解答中 包含着重要的数学原理，对于这些问题或 者能启发学生寻找应该能够识别的模式， 或者通过基本技巧的某种运用很快地得到 解决。l同时，“问题解决”还能够促进学生对于数 学基本知识和技能的掌握，有利于学生掌 握有关的数学知识和思想方法，这就与所 谓的“偏题”、“怪题”划清了界线。 l一个好问题的可发展空间是说问题 并不一定在找到解答时就会结束， 所寻求的解答可能暗示着对原问题 的各部份作种种变化，由此可以引 出新的问题和进一步的结论。l问题的发展性可以把问题延伸、拓 广、扩充到一般情形或其他特殊情 形，它将给学生一个充分自由思考 、充分展现自己思维的空间。 3、应该具有一定的“开放性”l好问题的“开放性”，首先表现在问题来源的“开 放”。问题应具有一定的现实意义，与现实社会 、生活实际有着直接关系，这种对社会、生活的 “开放”，能够使学生体现出数学的价值和开展“ 问题解决”的意义。l同时，问题的“开放性”，还包括问题具有多种不 同的解法，或者多种可能的解答，打破“每一问 题都有唯一的标准解答”和“问题中所给的信息都 有用”的传统观念，这对于学生的思想解放和创 新能力的发挥具有极为重要的意义。 二、数学问题解决l（一）对“问题解决”的理解 l从国际上看，对“问题解决”长期以 来有着不同的理解，因而赋予“问题 解决”以多种含义，总括起来有以下 六种： 1、把“问题解决”作为一种教学目的。l例如美国的贝格教授认为：“教授数学的 真正理由是因为数学有着广泛的应用， 教授数学要有利于解决各种问题”，“学 习怎样解决问题是学习数学的目的”。lE.A.Silver教授也认为本世纪80年代以来 ，世界上几乎所有的国家都把提高学生 的问题解决的能力作为数学教学的主要 目的之一。l当“问题解决”被认为是数学教学的 一个目的时，它就独立于特殊的问 题，独立于一般过程和方法以及数 学的具体内容，此时，这种观点将 影响到数学课程的设计和确定，并 对课堂教学实践有重要的指导作用 。 2、把“问题解决”作为一个数学基本技能。l例如美国教育咨询委员会认为“问题解 决”是一种数学基本技能，他们对如何 定义和评价这项技能进行了许多探索和 研究。l当“问题解决”被视为一个基本技能时， 它远非一个单一的技巧，而是若干个技 巧的一个整体，需要人们从具体内容、 问题的形式、构造数学模型、设计求解 模型的方法等等综合考虑。 3、把“问题解决”作为一种教学形式。l例如英国的柯可劳夫特等人认为 ，应当在教学形式中增加讨论、 研究问题解决和探索等形式，他 还指出在英国，教师们还远远没 有把“问题解决”的活动形式作为 教学的类型。 4、把“问题解决”作为一种过程。l例如21世纪的数学纲要中提出“问题 解决”是学生应用以前获得的知识投入到 新或不熟悉的情境中的一个过程。l美国的雷布朗斯认为：“个体已经形成的 有关过程的认识结构被用来处理个体所面 临的问题”？此种解释，可以使一个人使 用原先所掌握的知识、技巧以及对问题的 理解来适应一种不熟悉状况所需要的这样 一种手段，它着重考虑学生用以解决问题 的方法、策略和猜想。 5、把“问题解决”作为法则。 l例如在国际教育辞典中指出 ，“问题解决”的特性是用新颖的 方法组合两个或更多的法则去解 决一个问题。 6、把“问题解决”作为能力。l例如1982年英国的Cockcroft report认为那种把数学用之于 各种情况的能力，称之为“问题 解决”。l综合以上各种观点，虽然对“问 题解决”的描述不同，形式不一 ，但是，它们所强调的有着共同 的东西，即“问题解决”不应该仅 仅理解为一种具体教学形式或技 能，它应贯穿在整个教学教育之 中。l“问题解决”的教学目的是很明确 的，那就是要帮助学生提高解决 实际问题能力，而且“问题解决” 的过程是一个创造性的活动，因 而是数学教学中最重要的一种活 动？l以下是从文献中对“问题解决”的 六个不同的概念： 问题解决l（1） 解决教科书中标题文字题，有 也叫做练习题； l（2） 解决非常规的问题； l（3） 逻辑问题和“游戏”； l（4） 构造性问题； l（5） 计算机模拟题； l（6） “现实生活”情境题。l在“问题解决”中，相当一部份是实际生活 中例子。从构造数学模型、设计求解模型 的方法，再到检验与回顾等整个过程要由 学生去发现、去设计、去创新、去完成， 这是“问题解决”与创造性思维密切联系之 所在。l数学教师应创造更有利于问题解决的条件 ，在为所有年级编制出好的问题并传授解 决问题的技能、技巧的同时，尽力为学生 的创造性思维提供良好的课堂环境与机会 、乃至服务。 （二）数学问题解决的心理分析l1、从学习心理学看“问题解 决” l从学习心理学角度来看，问题解 决一般理解为一种认知操作过程 或心理活动过程。问题解决l所谓“问题解决”指的是一系列有目的指 向认知操作过程，是以思考为内涵、 以问题为目标定向的心理活动过程。 具体来说，问题解决是指人们面临新 的问题情境、新课题，发现它与主客 观需要的矛盾而自己缺少现成对策时 ，所引起的寻求处理问题办法的一种 心理活动过程。l问题解决是一种带有创造性的高级心理活 动，其核心是思考与探索。l认知心理学家认为，问题解决有两种基本 类型：l一是需要产生新的程序的问题解决，属于 创造性问题解决；l一是运用已知或现成程序的问题解决，是 常规性问题解决。l数学中的问题解决一般属于创造性问题解 决，不仅需要构建适当的程序达到问题的 目标，而且更侧重于探索达到目标的过程 。 l问题解决有两种形式的探索途径：试 误式和顿悟式。l试误式是对头脑中出现的解决问题的 各种途径进行尝试筛选，直至发现问 题解决的合理途径。l顿悟式是在长期不懈地思考而又不得 其解时，受某种情境或因素的启发， 突然发现解决的方法和途径或方式。 对中学生而言，这两种探索形式都是 问题解决不可缺少策略。 2、数学问题解决的心理过程l现代学习心理学探究表明，问题分为三种 状态，即初始状态、中间状态和目的状态 。l问题解决就是从问题的初始状态开始，寻 求适当的途径和方法达到目的状态的过程 。l因此，问题解决实质上是运用已有的知识 经验，通过思考探索新情境中问题结果和 达到问题的目的状态的过程。 l以数学对象和数学课题为研究客体 的问题解决叫做数学问题解决。l一般来说，数学问题解决是在一定 的问题情境中开始。l所