第七章：线性分组码7.1 分组码的概念 7.2 线性分组码 7.4 循环码 7.5 卷积码2018/7/1317.4 一些特殊的线性分组码本节介绍几种重要的线性分组码。一、二元Hamming码nN=2m-1，L=2m-1-m，即二元(2m-1，2m-1-m)线性分组码。n其一致校验矩阵是如下的m(2m-1)阶矩阵H： H的(2m-1)列恰好是(2m-1)个非全0的m维向量。Date27.4 一些特殊的线性分组码定义6.2.1 如果任一个接收向量y，都有唯一的码字u满足d(y, u)t，则称该码为t阶完备码。 命题 当一个(N，L)线性分组码是t阶完备码时，所有不同伴随 式所对应的陪集首恰好是所有重量不超过t的N维向量。 注意：不同伴随式的个数为2N-L，重量不超过t的N维向量的个 数为定理6.2.1 二元Hamming码（它是二元(2m-1，2m-1-m)线性分组 码）是1阶完备码。（2m=1+2m-1 ）Date37.4 一些特殊的线性分组码二、Hadamard码从Hadmard矩阵的行中选择码字可以构造出Hadamad码。 Hadmard矩阵Mn是一个nn阶矩阵，其中n=2m。该矩阵满足n有一行为全0行，其余的行有2m-1个0，2m-1个1。n任意两行有2m-1个位置不同， 2m-1个位置相同。Date47.4 一些特殊的线性分组码Date57.4 一些特殊的线性分组码以Hadmard矩阵Mn的所有行作为所有的码字，得到的码就是 Hadamad码。 Hadamad码的参数如下： 共有n个码字，因此共有n个信息，因此信息长为logn=m。 码长为n。 编码效率为R=m/n=m/2m。 dmin=2m-1=n/2。 生成矩阵为Mn的任意m个非全0行构成的mn阶矩阵。（？）Date67.4 一些特殊的线性分组码三、Golay码Golay码是线性(23, 12)码，最小距离为7。将其增加一个全 校验位扩展为二元线性（24,12）码，最小距离为8。表 6.4.1给出了Golay码和扩展Golay码的重量分布。 Date7循环码要求掌握的内容n根据多项式会写循环码的生成矩阵和校 验矩阵n会写循环码生成和校验矩阵的系统形式n会画循环码的编码电路n由生成多项式的根定义循环码7.4 一些特殊的线性分组码Date8n定义n循环码的生成多项式和校验多项式n循环码的生成矩阵和校验矩阵n循环码的系统码形式7.4 一些特殊的线性分组码Date9定义1：设CH是一个n.k线性分组码，C1是其 中的一个码字，若C1的左(右)循环移位得到的n 维向量也是CH中的一个码字，则称CH是循环码 。 定义2：设是n维空间的一个k维子空间，若对任一恒有则称Vn,k为循环子空间或循环码Date10问题一 如何寻找k维循环子空间？ 如何设计n,k循环码？ 利用多项式和有限域的概念Date11n注：1、GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有 一一对应的关系 注：1、GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有 一一对应的关系2、模n 多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余 类环Fpx/F(x)，若在环中再定义一个数乘运算， 即则模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间，定义为 剩余类结合代数。Date12问题一转化为 如何从模多项式xn-1的剩余类 结合代数中寻找循环子空间？Date13定理以多项式xn-1为模的剩余类线性结合代数 中，其一个子空间Vn, k为循环子空间(或循 环码)的充要条件是：Vn,k是一个理想。循环码是模xn-1的剩余类线性结合代数中 的一个理想。Date14问题二如何从多项式剩余类环中 寻找理想？Date15由于1、多项式剩余类环中任何一个理想都是 主理想主理想中的所有元素可由某一 个元素的倍式构成2、在主理想的所有元素中，至少可找到 一个次数最低的首一多项式g(x),即生成 多项式Date16问题三 如何寻找生成多项式g(x)？Date17循环码模多项式xn-1剩余类线性结合代数中的理 想生成多项式Date18生成多项式和校验多项式*19两个定理定理1(p147):GF(q)(q为素数或素数的幂) 上的n,k循环码中，存在唯一的n-k次首一 多项式g(x)，每一个码多项式C(x)必是g(x) 的倍式，每一个小于等于(n-1)次的g(x)的 倍式一定是码多项式Date20两个定理定理2(p148):GF(q)(q为素数或素数的幂) 上n,k循环码的生成多项式g(x)一定是xn-1 的n-k次因式： xn-1= g(x) h(x)。反之，若g(x)为n-k次多项式，且xn-1能被 g(x)整除，则g(x)一定能生成一个n,k循环 码Date21两个结论结论1:找一个n,k循环码，即是找一个n-k 次首一多项式g(x)，且g(x)必是xn-1的因式。结论2:若C(x)是一个码多项式，则反之，若，则C(x)必是一个码多项式Date22nExamplesGF(2)上，x7- 1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)试求一个7,4循环码。g(x)、 xg(x)、x2 g(x)、 x3g(x)、Date23循环码的生成矩阵和校验矩阵*24g(x)决定生成矩阵，h(x)决定校验矩阵Date25Date26Date27循环码的系统码 模g(x)的除法问题Date28Date29由于生成矩阵G中的k行要求线性无关，因此 在求余式时，可选择k个线性无关的信息组 (1,0,0,0) xk-1，(0,1,0,0,0) xk-2,(0,0,0,0,1) 1Date30表示ri(x)的系数Date31Date32循环码的编码原理(1)基本步骤(n,k)1、分解多项式xn-1=g(x)h(x)2、选择其中的n-k次多项式g(x)为生成多项式3、由g(x)可得到k个多项式g(x), xg(x),xk-1g(x)4、取上述k个多项式的系数即可构成相应的生成矩阵5、取h(x)的互反多项式h*(x),取h*( x), xh*( x), xn-k-1h*( x)的系数即可构成相应的校验矩阵Date33可选择k个线性无关的信息组 (1,0,0,0) xk-1，(0,1,0,0,0) xk-2,(0,0,0,0,1) 1循环码的编码原理(2)Date34表示ri(x)的系数Date35循环码的编码n多项式乘法和除法电路n循环码的编码电路(乘法和除法)Date36多项式乘法和除法电路*37Date38b0b1b2br-2b1br-1b1br输出C(x)输入A(x) a0,a1,ak乘B(x)运算电路 (利用校验多项式h(x)编码时会用到)Date39b0b1b2br-2b1br-1b1br输出C(x)输入A(x)a0,a1,ak乘B(x)运算电路akb0akb1akbr-2akbr-1Date40-b1b1br-1输出商q(x)输入A(x)-b2-br-1-b0除B(x)运算电路a0,a1,ak除式B(x)构成电路，被除式A(x)的系数依次送入电路Date41h0h1h2hr-2b1hr-1b1hr输入A(x)a0,a1,ak-g1gr-1输出商q(x)-g2-g0-gr-1-gr-1乘H(x),除g(x)运算电路Date42循环码编码电路*43Date44n-k 级编码器基本原理：利用生成多项式g(x)若要求编成非系统码形式，则利用乘法电路若要求编成系统码形式，则利用除法电路Date45n-k级乘法电路(非系统码形式)取g(x), xg(x),xk-1g(x)的系数可构成生成矩阵GDate46n-k级乘法电路(非系统码形式)若信息序列 m=(mk-1, mk-2,m0),则mG对应的n维向量为：该n为向量正是多项式m(x)g(x)的系数Date47g0g1g2gn-k-2b1gn-k-1b1gn-k输出C(x)输入m(x)m0,m1,mk乘g(x)运算电路mk-1 gn-k-1mk-1 gn-k输入m(x)是信息序列，g(x)为生成多项式mk-1 g0mk-1 g1Date48nExamplesGF(2)上，x7- 1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)试画一个7,4循环码的n-k级乘法编码电 路。Date49n-k级除法电路(系统码形式)(1,0,0,0) xk-1，(0,1,0,0,0) xk-2,(0,0,0,0,1) 1Date50表示ri(x)的系数Date51n-k级除法电路(系统码形式)对任意信息多项式m(x), xn-km(x)除g(x)可得余式r(x)，m(x)的系数为信息序列mr(x) 的系数为m对应的校验比特Date52n-k级除法电路(系统码形式)若信息序列 m=(mk-1, mk-2,m0)对应的多项式m(x)=mk-1xk-1+ mk-2xk-2+m0Date53n-k级除法电路(系统码形式)综上，循环码的系统码电路是信息多项式m(x)乘xn-k,除g(x)的实现电路Date54输入m(x)m0,m1,mk-1-g1gn-k-1-g2-g0-gn-k-1-gn-k-2乘xn-k除g(x)运算电路门1Date55k 级编码器基本原理：利用校验多项式h(x)为系统码编码电路Date56k 级编码器若信息序列 m=(mk-1, mk-2,m0)对应的多项式m(x)=mk-1xk-1+ mk-2xk-2+m0码多项式C(x)= m(x)g(x),且C(x)为系统码h(x)C(x)= h(x)m(x)g(x)= m(x)(xn-1) = m(x)xn-m(x)= mk-1xn+k-1+ mk-2xn+k-2+m0xn-(mk-1xk-1+mk-2xk-2+m0)Date57k 级编码器h(x)C(x)的乘积中，xn-1, xn-2, xk次的系数为零xn-1的系数h0 cn-1 +h1 cn-1-1 + +hk cn-1-k=0xn-2的系数h0 cn-2 +h1 cn-2-1 + +hk cn-2-k=0xn-3的系数h0 cn-3 +h1 cn-3-1 + +hk cn-3-k=0xk的系数h0 ck +h1 ck-1 + +hk c0=0Date58k 级编码器由于hk=1cn-1-k = - (h0 cn-1 +h1 cn-1-1 + +hk-1 cn-1-(k-1)cn-2-k = - (h0 cn-2 +h1 cn-2-1 + +hk-1 cn-k-1)cn-3-k = - (h0 cn-3 +h1 cn-3-1 + +hk-1 cn-k-2)cn-k-(n-k) = - (h0 ck +h1 ck-1 + +hk-1 c1)Date59-h0-h1-h2-hk-2b1-hk-1输入信息门cn-1cn-2cn-k-1cn-k循环码k级编码电路Date60