教师：孟雅琴个人邮箱: ellenmyq163.com工作邮箱: ellenoffice163.com电话：15921365639经典数学的研究对象是现实世界中的数量 关系和空间形式。数学形成两大分支：几何学和代数学在古希腊时代（大约公元前5世纪-公元前3 世纪）数学就成为一门独立的、理性的学科发展 起来了。它的最杰出的代表作是Eulid的几何原 本，至今已有两千多年的历史了。初等数学时期：公元前3世纪到17世纪-常量数学时期 主要研究对象：匀速的运动（速度不变）匀加速运动（速度匀速变化）直边图形（不弯曲）圆弧边图形（均匀弯曲）有限次四则运算17世纪微积分的创造开始了高等数学时期-变量数学时期微积分最初解决的四类问题：1 变速直线运动物体的瞬时速度与加速度 2 求曲线的切线问题3 求函数的最值问题4 求不规则图形的面积微积分Calculus（无穷小分析）分为微分和积 分两大部分，微分和积分是一对逆运算，历史 上是先产生积分学后产生的微分学。微分学的主要内容：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容：定积分、不定积分等。第一章高等数学的基础 函数 极限 研究的对象 研究的方法一元函数第一节 一元函数二、函数的概念及图形四、反函数与复合函数五、函数的运算六、基本初等函数三、函数可能具有的几种特性第一章 七、初等函数一、实数集 邻域一、实数集 邻域集合的定义集合的运算并，交，差数集分类:N-自然数集Z-整数集Q-有理数集R-实数集数集间的关系:不含任何元素的集合称为空集.邻域.()二、函数的概念及图形1.常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为 常量,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为 变量.常量与变量的表示方法：用字母x, y, t等表示变量.2. 函数的概念 定义1 设非空数集x 称为自变量,y 称为因变量 ,D 称为定义域 ,y 的全体 称为值域 .函数图形:称点集为函数 f 的图形.变量 y 按照一定法则总有唯一确定的数值和它对应,则称 y 是 x 的函数，记为定义域值域对应法则注 1 函数的二要素定义域 D对应法则 fRf对应法则 f自变量因变量例1 下列各组函数是否相同？(1)答：不同, 因为二者定义域不同. 前者的定义域为 (2)而后者的定义域为答：不同, 因为二者的 对应法则不同. 注 xyO答：相同.(3)两个函数是否相同，仅取决与D 和 f，而与f 的表达形式无关，也与变量的记号无关!2 定义域：使表达式及实际问题都有意义的自变量所能取得的一切实数值所组成的集合.例2解3 函数的表示方法:解析法、图象法、列表法.1-1xyo(1)符号函数3. 几个特殊的函数举例(2) 绝对值函数xyO(3) 取整函数 y = x, x R阶梯曲线x表示不超过 x 的最大整数.1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 -1-3xyO342 1有理数点无理数点1xyo(4) 狄利克雷函数(5) 数列 数列也是一类函数, 它的定义域是全体正整数它的图形是平面上的一些孤构成的集合 立点的集合.三、函数可能具有的几种特性设函数又数集1. 有界性为有界函数. M-MyxOy = f (x)X有 若则称 f (x)为偶函数;若则称 f (x)为奇函数.说明: 若在 x = 0 有定义 ,则当为奇函数时,2. 奇偶性yxOx-x偶函数的图形关 于y 轴对称 奇函数的图形关 于原点对称例4证 令则由消去得显然又故为奇函数 .且证明时其中为常数 , 且为奇函数 .设在 I 上单调减少.当时,称 在 I 上单调增加；称 单调增加或单调减少的函数 统称为单调函数.3. 单调性注 函数单调与否同所论区间有关.4. 周期性 且则称为周期函数 ,若称 T 为周期.周期为 周期为( 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 ).例如: 常量函数 狄里克雷函数x 为有理数, x 为无理数;注并非任何一个周期函数都有最小正周期.每一个正数都是其周期.每一个正有理数都是其周期.这两个函数均无最小正周期!例5 设函数的图形关于 均对称, 求证是周期函数.证 由的对称性知于是故是周期函数 , 周期为xyOab四、 反函数与复合函数1. 反函数的定义及性质定义 对于以D为定义域，f (D)为值域的函数y =f (x),习惯上 ,的反函数记成例如, 函数其反函数为性质:(1) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .其反函数(减)(减) .(2) 单调递增也单调递增例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线对称 .指数函数xyO例6解 分段函数的反函数应当逐段求：解得反函数为解得反函数为又对于直接函数 y = x 3 来说其值域为 1, 8 ， 故反函数 的定义域为 1, 8 ; x 1, 8 ;解得反函数为综上所述，所求反函数为2. 复合函数 定义:注 1 并非任何两个 函数都能构成复合函数，函数的复合是有条件的.条件：如：Ou-112解故例7 统称为 基本初等函数.幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数五、基本初等函数1、幂函数2、指数函数3、对数函数4、三角函数正割函数余割函数5、反三角函数六、初等函数由常数及基本初等函数称为初等函数 . 否则称为非初等函数 . 例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,可表为故为初等函数.为奇函数(1) 双曲正弦 记1. 双曲函数(2) 双曲余弦 为偶函数记工程中常用的一类初等函数:为奇函数(3) 双曲正切 记内容小结定义域对应规律2. 函数的特性有界性, 奇偶性, 单调性, 周期性3. 初等函数的结构1. 函数的定义及函数的二要素例3-1 已知函数求 及解函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 =例4-1证明设f(x)是定义在(-a,a)内的任意函数，证明 （1）f(x)+f(-x)是偶函数； （2）f(x)-f(-x)是奇函数； （3）f(x)总可以表示为一个偶函数与一个 奇函数之和.(1)令F(x)=f(x)+f(-x), 因为在对称区间(a,-a)内 ，有 F(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=F(x),所以，F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数.(2)令F(x)=f(x)-f(-x),所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.(3)作以上两个函数的线形组合,可得f(x)=即 f(x)表示一个偶函数与一个奇函数之和.F(-x)=f(-x)-f(x) =-f(x)-f(-x)=-F(x),例6 -1 求的反函数及其定义域.解 当时, 则当时,则当时, 则反函数定义域为令则故解例7-1例7-2解例7-3解例7-4解_01-1xy例7-5已知解故又因所以从而的定义域为积分学的历史可追溯到遥远的古 希腊，从欧多克索斯（柏拉图时代最 伟大的数学家和天文学家）的穷竭法 ，阿基米德的平衡法，到中国古代科 学家刘徽的割圆术，纵跨了二千年的 时间。穷竭法：如果从任意一个量中减去一个不小于其 一半的部分，再从余下的部分减去一个不小于其一 半的部分，等等一直下去，则最终将剩下一个比任 意事先给定的一个同类量为小的量割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以致 不可割。莱布尼兹1646年出生在德国的莱比锡 ，15岁进入大学学习法律，毕业之后 从事外交工作，26岁时与荷兰数学家 物理学家天文学家惠更斯的会晤，激 起了他对数学的兴趣。他是数学史上最伟大的符号学者，他 在创造微积分的过程中花了很多的时 间去选择精巧的符号，现在微积分的 符号基本上都是他创造的。