1.了解平面向量基本定理2.理解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算1.平面向量基本定理2.平面向量的坐标运算1.设 (2,3)， (m，n)， (1,4)，则 等于( )A.(1m,7n) B.(1m，7n)C.(1m,7n) D.(1m，7n)解析：(2,3)(m，n)(1,4)(1m,7n) (1m，7n).答案：B2.已知a=(2,-3), b=(3,),若ab,则等于 ( )解析：ab,2-(-3)3=0,= .答案：CA B-2C D 3.设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a， c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为 ( )A.(1，1) B.(1,1)C.(4,6) D.(4，6)解析：4a(4，12),3b2a(8,18)，设向量c(x，y)，依题意，得4a(3b2a)c0，所以48x0，1218y0，解得x4，y6.答案：D4.若点O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)，且 ， 则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， 向量 的坐标为 .解析：O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)， (1,2)， (1,3)，2(1,2)(2,4)，3(1,3)(3,9).A(2,4)，B(3,9)，(32,94)(5,5).答案：(2,4) (3,9) (5,5)5.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则 的值等于 .解析： (a2，2)， (2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以 .答案：1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内 的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基 底不同，表示也不同.2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算特别警示 由于基底向量不共线，所以0不能作为一个基底向量如图所示，在OAB中， AD与BC交于点M，设 a， b，以a、b为基底表示 .思路点拨课堂笔记 设 manb(m，nR).则 (m1)anb， baa b.因为A，M，D三点共线，所以 即m2n1，而 (m )anb，b a ab，因为C，M，B三点共线，所以 ，即4mn1.由 解得 所以保持例1条件不变，求 解：1.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行， 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标， 解题过程中要注意方程思想的运用2.利用向量的坐标运算解题.主要是根据相等的向量坐标相 同这一原则，通过列方程(组)进行求解.3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量 和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数.已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设 a， b， c，且 3c， 2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量 的坐标.思路点拨课堂笔记 由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，(3) 3c， 3c (3,24)(3，4)(0,20).M(0,20).又 2b， 2b (12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2). (9，18).1.凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行 的充要条件.2.两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用，一 般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值，则利用 “若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10”比较简捷.3.在求与一个已知向量a共线的向量时，采取待定系数法 更为简单，即设所求向量为a(R)，然后结合其他条 件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到欲求 向量，这样可以使未知数的个数少一些，便于求解.已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，求实数x的值.思路点拨课堂笔记 因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0.即10x5，解得x .向量u和v是同向还是反向？解：例题可知x ，a(1,2)，b( 1)，u(2,4)，v( 3)，u v，且 0.u与v同向共线.高考对本节内容的常规考法是：以选择题或填空题的形式直接考查两向量共线的充要条件的应用，主要题型为判断两向量是否共线，已知两向量共线求参数等.而09年安徽高考则打破常规，没有直接给出向量的坐标，而是考查学生根据部分问题的需要建立平面直角坐标系化几何问题为代数问题的能力，并将问题与三角函数的最值问题相结合命题，是一个新的考查方向.考题印证(2009安徽高考)给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动. 若 其中x，yR，则xy的最大值是 .【解析】 1， 1，120， 1， x2y2xy(xy)23xy1，(xy)213xy.C在 上，x0，y0，(xy)21 (xy)24xy2.当且仅当xy1时取“”.【答案】 2自主体验已知向量a(1,1)，b(1，1)，c( cos， sin)(R)，实数m，n满足manbc，则(m3)2n2的最大值为 ( )A.2 B.3C.4 D.16解析：化简条件以后，注意(m3)2n2的几何意义，数形结合可解.manbc，(mn，mn)( cos， sin).两式平方相加，得m2n21.点(m，n)的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，(m3)2n2表示单位圆上的点到点(3,0)的距离的平方.最大距离为4，故其平方为16.答案：D1.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 (2,4)， (1,3)，则 等于 ( )A.(2，4) B.(3，5)C.(3,5) D.(2,4)解析： (1,3)2(2,4)(1,3)(4,8)(3，5).答案：B2(2010湛江模拟)已知向量a(1,2)，b(x,1)，ca2b，d2ab，且cd，则实数x的值等于 ( )解析：ca2b(12x,4)，d2ab(2x,3)，又cd，答案：DA BC D 3.(2009广东高考)已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)， 则向量ab ( )A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线解析：ab(0,1x2)，ab平行于y轴.答案：C4.(2009辽宁高考)在平面直角坐标系xOy中，四边形 ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2,0)，B(6,8)， C(8,6)，则D点的坐标为 .解析：设D(x，y)，因为ABDC，ADBC，所以 ，而 (8,8)， (x8，y6)，(x2，y)， (2，2)，所以解之得x0，y2，故D(0，2).答案：(0，2)5.已知向量a(3,1)，b(2， )，直线l过点A(1,2)， 且a2b是其方向向量，则直线l的一般式方程为 .解析：a(3,1)，b(2， )，a2b(1,2)，故直线l的斜率为2，又l过点A(1,2)，l的方程为y22(x1)，即2xy40.答案：2xy406.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及 ，试问：(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值；若不能，请说明理由.解：(1)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)， (1,2)， (3,3).(13t,23t)，则P(13t,23t)，若P在x轴上，则23t0，所以t ；若P在y轴上，则13t0，所以t ；若P在第三象限，则所以t