2.4.1 平面向量的数量积的 物理背景及其含义学习目标：1、能运用数量积表示两个向量的夹角 ，计算向量的长度；2、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。+我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）FS力F所做的功W可用下式计算 W=|F|S|cos其中是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量数 量积的概念。平面向量的数量积：已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定 其中是 与 的夹角， 叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即 。BB1OA投影的概念:投影也是一个数量，不是向量.OBAB1投影的概念:ABOB1当为锐角时 投影为正值; 投影的概念:ABOB1ABOB1当为锐角时 投影为正值; 当为钝角时 投影为负值;投影的概念:ABOB1当为直角时 投影为0;ABOB1ABO(B1)当为锐角时 投影为正值; 当为钝角时 投影为负值;数量积的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。BB1OA思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负呢？注意注意：数量积 a b =| a | b |cos 注意公式变形，知三求一. “ ”读作“点乘”，不能省略不写 ，也不能写成“”; 一种新的运算，也叫做内积;由向量数量积的定义，试完成下面问题：注：常记 为 。0证明向量 垂直的依据（4）平面向量数量积的几何意义：数量 积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b| cos的乘积 。（5）向量数量积的性质。ea=ae=|a| cos.ab ab=0. 当a与b同向时, ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|.特别地， aa=|a|2或|a|= 。|ab|a|b| 典型例题分析进行向量数量积 计算时,既要考 虑向量的模,又 要根据两个向量 方向确定其夹角。例1、四.课堂练习判断下列各题是否正确(1)若a=0,则对任意向量b,有ab=0(2)若a0,则对任意非零向量b,有ab0(3)若a0,且ab=0,则b=0 (4)若ab=0,则a=0或b=0 (5)对任意向量a有a2=a2 (6)若a0且ab=ac,则b=c (7)a与是两个单位向量，则a.( )()()() ( ) ()( )数量积的运算规律：思考：等式 是否成立？数量积的运算规律：不成立例 2：求证： （1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例 2：求证： （1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba2b2.例3.已知 ， 的夹角60，求 。例4.已知 ，且 与 不共线，k为何值时，向量 与 互相垂直。-72，小结向量数量积计算时, 一要算准向量的模, 二要找准两个向量的夹角。1、两向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号确定 ；2、两个向量的数量积称为内积，写成ab;与代数中的数ab不同， 书写时要严格区分； 3、在实数中，若a0，且ab=0,则b=0；但在数量积中，若a0，且 ab=0,不能推出b=0。因为其中cos有可能为0 4、已知实数a、b、c（b0)，则有ab=bc得a=c.但是有ab=bc不能得 a=c数量积 a b =| a | b |cos5、ab ab=0. 6、当a与b同向时, ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|.特别地， aa=|a|2或|a|= .8、 7、 |ab|a|b|, |ab|=|a|b|cos|作业： P 108 3、7