返回上页页下页页目录录第二节 离散型随机变量及其分 布离散型随机变量随机变量的所有取值是有限个或可列个非离散型随机变量随机变量的取值有无穷多个，且不可列 Date1返回上页页下页页目录录定义：若随机变量X的所有可能取值为xi(i=1,2,) 而 X取值为xi对应的概率为pi ，即或称为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。分布律具有以下重要性质：即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律。Date2返回上页页下页页目录录例：设随机变量的分布律为：试求常数 .解： 由性质（2），有即所以Date3返回上页页下页页目录录几种常见的离散型分布一、两点分布定义：若随机变量X的分布律为X01P1-pp则称X服从参数为p(0p1) 的两点分布，或0-1分布。背景：当样本空间只有两个样本点时，可以用两点 分布来 描述。实例：顾客的性别，机器工作是否正常，以及前面 提到的掷硬币试验 等都可用0-1分布来描述。 Date4返回上页页下页页目录录二、二项分布定义：若随机变量X的分布律为则称X服从参数为n， p(0p1) 的二项分布，也称伯努利分布。 记为XB( n, p)注：1.当n=1时，即XB(1, p)，2. 恰好是二项式 的展开式中出现 的那一项，这就是被称为二项分布的缘由。亦即是两点分布。Date5返回上页页下页页目录录例： 抛5枚均匀的硬币，如果假定各硬币抛的结果相互独立，试求所得正面个数的分布律。解： 令X表示所得正面的个数， 则XB(5, 1/2).于是注：仔细观察，注意到当k增加时，PX=k会先 增加，直至最大值，然后减小。或自证:当XB(n, p) 时，若k为不大于(n+1) p的最大 整数， PX=k取最大值。Date6返回上页页下页页目录录例： 某人进行射击练习 ，假设他每次射击的命中率为0.02，现独立射击400次，试求命中目标的概率。解： 设命中目标的次数为X ，则XB(400,0.02). 其分布律为于是，所求概率为注：随着试验次数的增加，小概率事件发生的可 能性也将增加。即小概率事件不再小概率。若在400次的射击中，没有一次击中目标，根据实 际推断原理，我们有理由怀疑原假设（即命中率为0.02 ） Date7返回上页页下页页目录录例 ：某保险险公司有2500个同一年龄龄和同社会阶层阶层 的人参 加了人寿保险险。在一年时间时时间时 每个人死亡的概率为为0.002，每 个参加保险险的人在1月1日付12元保险费险费 ，而在死亡时时家属可 从公司领领2000元。问问：（1）“保险险公司亏本”（记为记为 A）的概 率是多少？（2）“保险险公司获获利不少于10000，20000元”（ 分别记别记 B1和B2）的概率是多少？解：问题问题 ：如何算出精确或近似 值值Date8返回上页页下页页目录录, 则对固定的 k设Possion定理Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式问题: 如何计算上述结果？Date9返回上页页下页页目录录证 : 记Date10返回上页页下页页目录录在实际应 用中，当n较大,p较小，而np适中（一般 不超过10）时，即可用泊松定理。如前例: n=400,p=0.02二项分布的泊松近似泊松定理：当n较大的时候，直接计算二项分布的概率值是比较麻烦的下面介绍一种近似计算方法近似效果是不错的。Date11返回上页页下页页目录录解：例 ：某保险险公司有2500个同一年龄龄和同社会阶层阶层 的人参 加了人寿保险险。在一年时间时时间时 每个人死亡的概率为为0.002，每 个参加保险险的人在1月1日付12元保险费险费 ，而在死亡时时家属可 从公司领领2000元。问问：（1）“保险险公司亏本”（记为记为 A）的概 率是多少？（2）“保险险公司获获利不少于10000，20000元”（ 分别记别记 B1和B2）的概率是多少？Date12返回上页页下页页目录录三、泊松分布定义：若随机变量X的分布律为则称X服从参数为 的泊松分布。记为XP().背景：泊松分布主要用于估计计某事件在特定时间时间 或空间间中发发生的次数，如: 社会服务问题务问题 ：电话电话 交换换台中的呼叫数、公共汽车车的乘客数； 物理学：放射性分裂落在某区间间的质质点数； Date13返回上页页下页页目录录例： 假设书的某一页上印刷错误的个数服从参数为0.5的泊松分布，求在这一页上至少有一处印刷错误的概率解：设X表示一页书上印刷错误的个数，则XP(0.5 ).因此Date14返回上页页下页页目录录四、几何分布定义：若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布。记为XG(p ).注：重复进行一个每次成功概率为p的独立试验，若前k-1次失败，第k次成功，其概率即为背景：放回抽样。Date15返回上页页下页页目录录设箱中有N个白球与M个黑球，每次随机取一个球，直到取出黑球为止如果每取出一个球后立即放回，再取出一个球，试求下列概率：例：1.正好需要取n次； 2.至少需要取k次。解：1.令X表示取到黑球所需的次数，则2.Date16返回上页页下页页目录录五、超几何分布定义：若随机变量X的分布律为则称X服从超几何分布。记为XH(M，N，n ).背景：产品检验和药物试验等实际问题 。Date17返回上页页下页页目录录五、超几何分布例: 根据1998年统计资料显示，在饮料销售额排名中 ，可口可乐和百事可乐位居第一，第二位，假设10 人中有6人偏爱可口可乐，4人偏爱百事可乐，先从 中选出3人组成一个随机样本，试问恰好有两人偏爱 可口可乐的概率是多少？ 解: 设X表示3人中偏爱可口可乐的人数，则X服从超 几何分布H(3,6,10),所求的概率为:Date18返回上页页下页页目录录内容小结Date19