indefinite integrall原函数与不定积分的定义l不定积分的几何意义l不定积分的性质第一节 不定积分的概念及性质（1） 从运算与逆运算看初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。微分是一种运算：求一个函数的导函数。 微分运算的逆运算是什么？问题：一、原函数的概念（2） 从物理问题看（3） 从几何问题看定义原函数的定义例l 什么样的函数存在原函数呢？l 原函数是不是只有一个呢？原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题： (1) 原函数是否唯一？(2) 若不唯一它们之间有什么联系？例（ 为任意常数）关于原函数的说明：（1）若 ，则对于任意常数 （2）若 和 都是 的原函数，则（ 为任意常数）证（ 为任意常数）同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个。问题： 如何表示这种求原函数的运算？即如何表示 ？ 注：求函数 f（x）的原函数， 实质上就是问它是由什么函数求导得来的，而若求得f（x）得一个原函数F（x），其全体 原函数应为二、不定积分的定义：定义任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量原函数不 定 积 分不定积分和原函数的关系：不定积分=原函数+任意常数原函数是不定积分其中之一。的原函数的图形称为 的积分曲线。三、不 定 积 分 的 几 何 意 义例1 求解解例2 求例不定积分=原函数+任意常数例不定积分=原函数+任意常数例3 求积分解例4 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为yf(x)，所以曲线方程为yx 2C因所求曲线通过点(1，2)，故 21C， C1 于是所求曲线方程为yx 21按题设已知切线如何求函数的曲线？因为2x dx x 2C ，l不定积分的求法：利用回忆微分法 和函数的求导公式求不定积分实例四、基 本 积 分 公 式逆运算启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.积分回忆微分见书145-146页基 本 积 分 表基 本 积 分 表基 本 积 分 表l利用积分基本公式求不定积分例5 求积分解根据积分公式（3）五、 不 定 积 分 的 性 质（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）不定积分的线性性质例6 x(x25)dx (25 x521 x )dx例7 23) 1( xx dx e x 3sin x C 例8(e x 3cos x)dx例92x ex dx 例10 241xx dx tan x x C 4cot x C 例 11 tan 2 x dx (sec 2x1)dx例 12 sin 22xdx 21(1cos x)dx例 13 2cos2sin122xxdx 22sin1xdx例14. 求解: 原式 说明：1分项积分后，我们只写一个C2. 检验结果是否正确，只要将结果求导，看它的导数是否等于被积函数。 例15 求积分解例16 求积分解例17 求积分解：例18 求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要 进行恒等变形，才能使用基本 积分表.练 习答 案练 习答 案答 案练 习答 案答 案思 考 题符号函数在 内是否存在原函数？为什么？思 考 题 解 答不存在.假设有原函数故假设错误所以 在 内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.内 容 小 结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质l对于规则的图形（正方形、矩形、圆等） 的面积及规则形状（正方体、圆柱、圆锥 等）的体积，这些问题我们在中学已经学 过。通过对积分的学习，我们就可以求不 规则图形的面积、不规则物体的体积。xf(x)abx.111111111.曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转V =求旋转体体积例不定积分=原函数+任意常数