天体物理中的辐射机制授课教师：吴学兵（北大天文系）研究生课程2011.12.2 &9.http:/vega.bac.pku.edu.cn/wuxb/radiation.htm12月2&9日复习题六、复合辐射和复合线参考：尤峻汉书：第7章Rybicki & Lightman书：第9, 10章Frank Shu书：第10, 26, 27章六、复合辐射和复合线复合辐射(radiative recombination): 动能为Ei的自由 电子飞过带电+Ze的离子近旁时，可能被离子俘获， 复合成净电荷为+(Z-1)e的离子，同时产生辐射。伴 随辐射的复合过程也是热等离子体的冷却方式之一。若复合后的离子处在主量子数为n的激发态上，该态 能量为-IZ-1,n, 则此复合过程辐射的光子能量为： h= Ei + IZ-1,n由于Ei可连续取值，故光子能量可取大于IZ-1,n的任意 值，即复合辐射谱是边界频率为IZ-1,n/h的连续谱。复合辐射过程中，电子的终态成为束缚态，因此复合 辐射又称为自由-束缚跃迁(free-bound transition)过程 。 复合辐射与轫致辐射的物理过程相似，但两者常有不 同的辐射频段。 如T10000K时，轫致辐射主要辐射射电波段连续谱， 而复合辐射除主要辐射光学波段连续谱外，复合辐射 可在复合到高激发态后通过向低能级跃迁(级联跃迁过 程)发射谱线。天体物理中相当多的光学谱线和射电谱线是通过这种 复合-级联方式产生的。另一种发射谱线的机制是通过 自由电子和离子、原子的碰撞激发(collisional excitation)来实现的。1、氢(或类氢)离子的复合辐射复合截面氢离子：90%等离子体 类氢离子：轨道电子全部脱落，原子核Ze裸露(如 二次电离He原子，记为He+或He III)。对飞到离子近旁的自由电子，若发生终态能量 的轫致辐射，或发生到高激发态的复合过程(电离 能 )，此两类过程在物理上无严格区分，共 同特征为电子最后在离子近旁作缓慢运动。因此， 在 极限下的轫致辐射截面应和 极限下 的复合辐射截面相等。对一初速为 的自由电子，若发生终态能量 的轫 致辐射，利用“高频”近似公式得到截面为：其中， 是精细结构常数， 。 若电子入射后发生复合过程落在主量子数为 的 态上，假定n取较大值，即处于高激发态，由于电离 能 (其中 是氢原子的基态电离 能) ，故 。此复合过程伴随的辐射频率为，复合辐射频率范围是 。 如将电子俘获到 高激发态的总复合截面记为，应有 。利用“高频”轫致辐射截面公式得到：即所求的到能级n的微分复合截面，修正因子称为复合冈特因子， ，误差小于10%。 可见，入射电子动能越大，复合截面越小。Z越大， 截面越大。且n值小的低激发态复合截面比高激发态 要大，即电子俘获到高激发态的概率很小。因n大的 束缚态电子轨道半径大，故离子与电子库仑引力较弱 ，对电子束缚作用小。 对给定初动能Ei的入射电子，大n值时复合截面正比 于n-3。但小n值时，Ei已远小于该态电离能， ， 辐射光子能量为 ，复合截面正比于n-1。因此由等式 可得到临界n值为：复合截面与主量子数的关系近似为：可见电子到低激发态的复合更为重要。这种复合过程 主要产生光学(和紫外)辐射。如将 代入截面公式， 得到：若温度为 ， ，远比氢原子几 何截面( )小。复合速率系数如等离子体内氢(或类氢)离子及自由电子的数密度分 别用Nz,Ne表示，由于复合作用，单位时间自由电子 和离子数的减少率与Nz,Ne成正比， 比例系数即复合速率系数(单位：cm3/s)。它是确定 一处于电离-复合平衡的等离子体性质的重要参量。假定自由电子气具有Maxwell分布，即速率分布函数 为：其中T为电子温度。因此总的复合速率系数为：其中 表示到能级n的复合速率系数。代入各参量表达式，可算出总的以及到单个能级的 复合速率系数 及 。 如对复合到氢(Z=1)的第n能级的复合速率系数是：其中 是氢原子第n激发能级的电离电势，K(t) 是指数积分：对电子速度分布求平均及对所有n求和，得到总的 复合系数为：其中 , 5.3E-9cm是H原子玻尔 半径， 表示类H原子电离能与电子平均动能比。表示平均复合冈特因子， ，误差小于10%。对“低温”情况( ，即 )在很“低”温度下，Y1, 即平均电子动能 (如T10000K，kT1eV, 远小于H原子电离能13.6eV)复合系数与温度T的依赖关系可写成：因此“低”温时近似有 ，温度升高，复合 速率下降。 T对高温情况(小的Y值)， 是Y的幂级数，因此高温下( ，即Yn跃迁 的概率。NGC 4151 (AGN)NGC1501(Planetary Nebula)对低密度的稀薄等离子体，辐射跃迁概率远超过碰撞 跃迁，系统偏离局部热动平衡，必须求解一组复合- 级联方程才能求出各激发态n上的原子数Nn。在稳定条件下，各能级n上原子数密度Nn不随时间变 化，进入能级n的原子数应与离开的相等。进入能级n的三条途径：自由电子直接复合到能级n ；从高激发态到能级n的自发跃迁；吸收频率为 的 Lyman光子 从基态跃迁到n态。故单位时间单位 体积跃迁到能级n的总数为：对低密度及辐射场不太强的等离子体，可忽略碰撞跃 迁及感应辐射跃迁，原子只能通过向低能级的自发跃 迁离开能级n。单位时间单位体积内离开的原子数为：因此得到用来确定各能级原子数的复合-级联方程：其中复合速率系数 由下式给出：式中 ， 为指数积分。复合-级联方程中的自发跃迁系数 也可从理论 上计算得到。已知H原子在能级k和n之间的振子强 度为：式中 是能级k的权重， 。自发发射系 数 可由与阵子强度 的关系求得：复合-级联方程中的感应跃迁系数 和辐射场强度的确定分两种情况： (1)、情况A(Case A)：等离子体很稀薄，对所有频 率的辐射都是光学薄的。此时感应吸收项 可略去。(2)、情况B(Case B)：等离子体对Lyman光是光学厚 的，但对其它波长仍是透明的。因在不太高的温度下 ，原子绝大多数处于基态(n=1)，只可能吸收紫外 Lyman光子而产生激发或光致电离，对可见光或红 外光则几乎不吸收。在情况B下，等离子体以Lyman线辐射的光子很快在 介质中被吸收。假定光深足够大，使1-n的吸收跃迁 数和n-1的跃迁数相等， 复合-级联方程可写为：在以上两种情况下，方程均不含 项。求解复合-级联方程的方法可进一步简化按沙哈(Saha)公式，对热平衡H原子等离子体，能级 n上的原子数密度Nn为：式中是Ne电子密度，N(H+)是基态H离子密度， 是能级n的简并度，而 是能级n的电离能。利用Saha公式，将各能级n上的原子数密度Nn写成：其中e的指数为 ，而bn表示对温度为 T的热平衡分布(Saha公式)偏离程度的一修正因子。将上式代入复合-级联方程得到关于bn(n=2,3,4.)的方 程组，求出bn ，就可定出Nn。当n-时, bn-1。 因此对给定参数T，Ne及N(H+)，可求得n3的各能级 上的H原子数Nn。 利用 ，即可求出各Balmer谱线的线强 。下表中列出各Balmer谱线对于H线的相对强度值 (Jn随n增大而减小Balmer减缩)。为求谱线绝对强度，可用公式 求 出每条谱线的发射系数。对Balmer线系的第二条谱线H，谱线发射系数为：如果T=10000K，且属情况B(对Lyman线辐射，等 离子体是光学厚的)，可求出 。将此 值代 入上式并采用一些近似表示，可得到：3、射电复合谱线对复合到激发态的电子，若通过级联跃迁到其它能 级n，就产生相应其它线系(如帕邢Pachen线系， n=3), 只不过其重要性不如Balmer线系。此外，高激发态之间的复合-级联跃迁产生的射电复 合线也很重要，对它们的研究可了解等离子体内部 物理条件(如电子温度等)。射电复合发射线的频率为： 其中R是里德伯(Rydberg)常量( )，z是相对 于处在高激发态的电子(有大的轨道)而言的离子所 具有的净电荷数(近似看作类H系统)。考虑到电子折合质量略低于其静止质量，使得里德 伯常量随不同原子略有差异，即：其中A是原子量，me, mp分别是电子、质子质量。若考虑相邻两高激发态的跃迁，即 ， 则称之为n跃迁，n取低能级n1的值。当 ， 即 ，则称为n跃迁。与之相应的谱线称为n线 、 n线等等。为表征是哪个元素原子的谱线，在谱 线记号前标上元素符号，如 等。由于n1，n2都取大值，n通常较小，辐射频率可很 好地近似为：因此当电子被任何一种z=1的一次电离元素原子(如等)俘获，且复合到高激发态(n1)情况 下，只要n1值相同， 也一样，则各种不同 元素原子的跃迁频率很接近，比H重的元素原子的发 射线比H原子的相应发射线略移向高频端。求谱线辐射强度，需解辐射转移方程。谱线线心处 强度由谱线强度与连续谱在该频率处强度两部分组 成： 。因此在线心处有：而在紧邻的连续谱区有：假定等离子体均匀，温度、密度处处相同，则可得 线心处的强度为：其中同样可得紧邻谱线的连续谱区的强度为：由于 ，故谱线强度与连续谱强度在同一频率 处之比为：因高激发态寿命较长，远大于碰撞时间，故即使对 低密度等离子体，碰撞跃迁也为主要过程。此情况 下可应用局部热动平衡假定。由Kirchhoff定律，对光学厚情况， 和 ，故 ，不会有 发射线出现。在光学薄时，强度比可从观测得到，而光深 和 与等离子体中 电子密度及温度有关，从而由上式可推求等离子体内 部物理条件。射电天文学中一般用亮温度TB代替强度， 假定等离子体均匀，强度比公式可改写为：射电波段，连续谱辐射基本