冲激不变变换法原理与设计方 法-数字低通滤波器设计Group 4 谢愚2013/11/181IIR 数 字 滤 波 器理想模拟 低通 H(s)数字 低通 H(z) 2p频域非因果稳定系统，物理不可实现设计（数学逼近 ）设计（数学逼近 ）巴特沃兹滤波器契比雪夫滤波器1pc0.5s单调性1pss1pss型型纹波特性离散线性时间系统模拟频率 数字频率方 法冲击不变变换：巴特沃兹、契比雪夫变换双线性变换：巴特沃兹、契比雪夫频率变换低通频率变换高通带通带阻我们的目标2013/11/183设计低通数字滤波器利用模拟滤波器的设计理论来设计IIR数字滤 波器就是首先根据实际要求设计一个模拟滤 波器，然后再将模拟滤波器转换成数字滤波 器。2013/11/1842013/11/185本节内容 冲激不变变换原理 巴特沃兹/切比雪夫低通数字滤波器设计 设计过程中要注意的问题 设计实例2013/11/186原理：冲激响应不变法遵循的准则是：使数字滤波 器的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的冲激 响应的取样值完全一样，即实际上，由模拟滤波器转换成数字滤波器， 就是要建立模拟系统函数 与数字系统函数之间的关系。其中，T为取样周期。若满足要求的模拟滤波器的系统函数 已 知，它通常是有理函数形式，并且分母的阶次高 于分子的阶次，仅含单极点，则可以表示成部分 分式形式：拉氏反变换z变换于是完成了数字滤波器设计。（书P522）具体的说，从s平面到z平面的映射不是简单 的代数映射，而是s平面上每一条宽为 的横 带重复地映射成整个z平面。2013/11/1810冲激响应不变法的频谱混叠失真示意图混叠问题：由数字滤波器频率响应和模拟滤波器 频率响应间的关系知：周期延拓那么数字滤波器的频率响应能够重现模拟滤波 器的频率响应。如果模拟滤波器的频率响应带宽被限制在折叠 频率内，即由于一般实际模拟滤波器都不是带限的，所 以混叠是必然的。即产生了失真。不适合设计高 通和带阻滤波器。这是冲激 响应不变法的 最大优点！这是冲激响 应不变法的最 大缺点！S 平面Z 平面模拟系统因果稳定， 其系统函数的所有极点位 于s平面的左半平面，这些 极点全部映射到z平面单位 圆内，因此，数字滤波器 也因果稳定。 例4.1 已知一模拟滤波器的传递函数为使用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。 解： 将 展开成部分分式得于是极点 ， 直接使用式设 T0.1667s，则得因此，数字滤波器的频率响应为(b)所示的是相应的 数字滤波器的幅度响应。图中可以看出，DF 的幅度响应在高频段有较 大的失真，而在低频段很 接近模拟滤波器的幅度响 应。图中(a)是模拟滤波器的频率响应4.4.3 数字巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器的幅度响应在通带内具有最平坦 的特性，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化的。为角频率，在 处 幅度响应的平方为0.5， N为滤波器的阶数。当时幅度响应为1。模拟巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为上图可以看出，随着N的增大，幅度响应曲线 在截止频率附近变得越来越陡峭，即在通带内有更 大部分的幅度接近于1 ，在阻带内以更快的速度下 降至零。个极点等间隔分布在半径为 的圆周 上。是关于虚轴对称的，虚轴上没有极点。当 为奇数时，实轴上有两个极点。当 为偶数时，实轴上无极点。各极点间的角度距为 。模拟巴特沃斯滤波器极点的分布特点：由此可得极点因此，可将极点重新分配上式中 是s平面左半平面的极点， 是右半平面的 极点。因为巴特沃斯滤波器有2N个极点，且对称于虚 轴，所以可将左平面的极点分配给 ，以便得到 一个稳定的系统。把右半平面的极点分给 ，可 以作不再考虑。经过推导，可以得到巴特沃斯滤波器的设计方 法。1) 根据实际需要规定滤波器在数字截止频率 和 处的衰减；2) 由数字截止频率 和 处的衰减计算模拟 巴特沃斯滤波器的阶数N和频率 ；设计数字巴特沃斯滤波器的步骤如下：3) 求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由s平面左半 平面的极点构成传递函数 。左半平面极点：传递函数：N为偶数N为奇数4) 使用冲激响应不变法将 转换成数字滤波器 的系统函数 。 4.4.4 数字切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器的幅度平方函数为式中， 称为纹波参数，它与通带内幅度响应 的纹波有关； 为有效通带截止频率，N是滤波 器的阶数。 切比雪夫滤波器在通带内的幅度响应是等波纹 的，而在阻带内是单调下降的；或者在通带内是单 调下降的，而在阻带内是等波纹的。切比雪夫滤波器是由 、 和N共3个参数确定。可以看出，切比雪夫滤波器的幅度响应在之间起伏变换，而在阻带内是单调下降的；当 N为奇数时，滤波器在 处的幅度响应为1。 当N为偶数时，滤波器在 处的幅度响应为 。参量 、 和N的确定： （1）确定由允许的通带波纹确定。如果在 处 允许的通带衰减为 ， 可以这样确定不同的 所对应的 值如下：因此（2） 的确定是切比雪夫有效通带截止频率，在 有效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间 波动， 常常是给定的。 （3） 滤波器阶数N的确定切比雪夫滤波器的阶数N是由阻带允许的 衰减确定的。设在阻带截止频率 s处的允许衰 减为 ，即由此得到计算滤波器阶数N的公式数字切比雪夫滤波器的设计步骤（1） 根据数字滤波器的指标确定参数 、 和N 。 （2） 计算常量 、 和 ，并求出极点 。 （3） 由s平面左半平面的极点构成传递函数 。 （4） 利用冲激响应不变法或双线性变换法将 转换成 。2013/11/1827设计实例12013/11/1828设计实例12013/11/1829设计实例12013/11/1830设计实例22013/11/1831设计实例22013/11/1832设计实例22013/11/1833设计实例22013/11/1834Butter12.m总结 核心内容：数字低通滤波器的设计 方法：冲激不变原理 展开：1.Butterworth数字低通滤波器设计2.Chebyshev-I数字低通滤波器设计2013/11/1835提问？提问？谢谢！2013/11/1836