12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637第二节“随机变量序列的收敛性定义4.3.1设CK,是一个随机变量序列,X是一个随机变量,如果对于任意的s0,有limP-刘s=0,(4.3.1)3心则称随机变量序列LX,依概率收敛于随机变量夕,记作X亘)X，0一oo).注:依概率收敛的等价命题:设X,是一个随机变量序列,丁是一个随机变量,如果对于任意的s0s有limPflF一刀s-1,则称随机变量序列LX,依概率收敛于随机变量乙.我们知道任何一个随机变量都有分布函数,而且分布函数全面地描述了随机变量的统计规律、因此讨论一个分布函数序列石(9收敏到一个极限分布函数7(c)是有实际意义的,现在的问题是,如何定义分布丽数序列7)的收敛性?很白然,申于仁G0是实变量丽数序列,我们的一个猜想是:对所有的x,要求厂0yFCG0,(一).这就是数学分析巾的点点收敛.然而逼懋的是,这样的要求有些太严格了.例4.3.1“设儿服从如下的退化分布:l飞一二2。心动Eh2)这样的,(-aHBifi小纬成孔伊随机变量序列jL己/()/J随机伎中三的分布函数,则有Iov浠歹艾)熹又|11x万一人由下拂土岩是函数慵榆的跳跃型间断点，所以当)一乙时,间断点x二皇兮0二x那么,分布丽数序列7(c)是否会收敛于分布丽数0xi010)2壶但是我们看到,对于任意的,么(0)=0,所以lim(0)=0,然而(0)=1,所以,lim友0)=0x0.1但是g(x)并不是分布函数.本例告诉我们,要求分布函数序列F,(x)点点收敛于一个分布函数7(x)是有些太苛剂了.再代细分析本例,我们发现x=0恰好是分布函数(r)的间断点,而除了这个间断点外,分布丽数序列(r)都是收敛于分布丽数G0的.因此我们可以将分布丽数序列人G0收敏于分布函数77(r)的定义修改成为如下定义:定义4.3.2设CK,)是一个随机变量序列,一是一个随机变么G是立的分布丽数,F(x)是爻的分布丽数,如果对于(0)任意连续点x,有lim月(0=FC0),(4.3.2)则称分布函数序列Go弱收敌于分希函数7Cc),记作(吴FG0G四.(4.3.3)武时也称随机变量序列Y,)依分布收敛于随机变量夕,记作一二节)一).(4.3.42注:以上定义的“弱收敛“是白然的,因为它比在每一点万都收敏的要求的确“弱“了些.如果FC)是连续函数,则对于任意的x,有lim久C0=FC0,此时分布丽救序列(点点收敛于分布丽数77C0).