1第六讲：正态分布2学习目标n掌握正态分布的特性；n正态分布曲线下面积的含义；n标准分的计算和应用；n利用标准正态分布表计算概率。n理解大数定理和中心极限定理3一、什么是正态分布？4从 “分布” 说起5直方图用长条的面积来表示频次或 相对频次； 折线图用直线连接直方图中条形顶 端的中点；当组距逐渐减小时，折线将逐渐平滑为曲 线。6峰点（Peak)研究单峰多峰7几种常见的频数分布曲线对称分布右偏分布左偏分布正J型分布反J型分布U型分布8一、 正态分布曲线 x x ( (x x) )91.1 什么是正态分布？1、由德国数学家高斯提出，也叫高斯分布； 2、自然界、社会经济生活中大量存在的分布规 律； 3、经典统计推断的基础； 4、在所有的分布中， 正态分布居于首要 位置；x xf f ( (x x) )101.2 正态分布的基本特征特征一：一个高峰 特征二：一条对称轴 特征三：一条渐近线x xf f ( (x x) )M0Md= 众值=中位值均值111.3 正态分布的数学表达式(x) = 随机变量 X 的频次（概率密度） 总体标准差； = 总体方差 = 总体均值 =3.14159; e = 2.71828x = 随机变量的取值 (- x )121.4 两个参数的影响（ ， ）位置参数均 值标准差 形状参数131.4.1 对正态曲线的影响1 2 31 2 3141.4.2 对正态曲线的影响x(x x) )CAB曲线A和B的比较16n正态曲线的位置由均值 决定；n正态曲线的形状“高，矮，胖，瘦” 的特点由标准差 决定；n 当当 较小时，曲线较小时，曲线“ “高高” ”且且“ “瘦瘦” ”；n n当当 较大时，曲线较大时，曲线“ “矮矮” ”且且“ “胖胖” ”。 17二、正态曲线下的面积182.1 正态曲线下面积的涵义n随机变量的频次总和；n一般把正态曲线下的总面积约等于1， 这时一定区间内的频次分布表现为概 率分布。192.2 正态曲线的一个重要性质无论正态曲线具有哪种均值和标准 差，在均值和横坐标某一点的距离内（ 用标准差来表示）曲线下的面积是常数 。下图说明此意。20正态曲线下的面积（图） -2 +22.3%2.3% - + 95.46%68.26%212.3 几个典型取值区间的概率值nP( - + ) =0.6827;nP( -2 +2 )=0.9545;nP( -3 +3 )=0.9973;22三、标准正态分布233.1 什么是标准正态分布以标准差为单位的正态分布一 般称为标准正态分布（standardized normal distribution)243.2 标准正态分布的重要性简化统计分析一般的正态分布取决于均值和标准差 ；计算概率时，每一个正态分布都需要有自 己的正态概率分布表，这种表格是无穷多 的若能将一般的正态分布转化为标准正态分 布，计算概率时只需要查一张表253.3 标准分（Standard scores)n公式:Z值代表每个X值在标准正态分布上的数值 。263.4 标准正态分布的表达式正态分布的表达式为：N（ ， ）标准正态分布的表达式为：N（0，1）标准正态分布是一般正态分布的特例，即0， 1的正态分布。273.5 标准分的实际意义n各总体之间可以通过标准分进行合理的比较n不同总体间综合指标的比较n如:甲城市居民月收入的均值为3000元，标准差 为500元；乙城市居民月收入的均值为4500元 ，标准差为1000元。若甲城市的居民A的月收 入为4000元，乙城市居民B的月收入为5500元 。看起来B的收入比A的高，但与本地其他居 民相比较，结果可能有所不同。这时候就需要 把A与B的收入都转换成标准值，进行更加直 观的比较。n结果是？283.6 标准分的应用例题:李明参加了全校新生入学摸底考 试，数学得了90分，英语得了75分 。假定全校新生数学成绩的均值 =85分，标准差 =10分；全校新生英语 成绩的均值 =60分，标准差 =5。这 次考试李明哪门科目考试考得好一些？293.7 标准正态分布的面积nP(-1 Z 1 ) =0.6827;nP(-2 Z 2 ) =0.9545;nP(-3 Z 3 ) =0.9973;由于标准正态分布N（0，1）的图形是 唯一的，因此使用标准正态分布无须 自己计算，只需要学会查表就行了。30四、标准正态分布表的使用314.1 标准正态分布表的介绍见教材P385附录二有问题324.2标准正态分布的计算【例5】已知服从标准正态分布N（0，1）， 求P（ 1.3)=? 解：因为 服从标准正态分布N（0，1），可 直接查附表4，根据z=1.3，有P（ 1.3)= 1.3=0.9032Xi:大写，小写 读作：克西 33【例6】:已知服从标准正态分布N（0，1），求P（ 1.3)=? 解：因为 1， 而 P（ 1.3) P（ 1.3) 1 因此有P（ 1.3)1 P（ 1.3)1 1.30.096834【例7】已知服从标准正态分布N（0，1），求P （ 1.3)=? 解：附表四中没有给出Z0的 Z值。根 据标准正态分布图形是以Z0为对称的 原理， P（ 1.3)=1 1.30.096835【例8】已知服从标准正态分布N（0，1），求P （1.3 2.3）？解： P（1.3 2.3） 2.3 1.3=0.98930.9032=0.086136【例9】根据统计，北京市初婚年龄服从正态分布。其均值为25岁，标 准差为5岁，问25岁到30岁之间结婚的人，其百分比为多少 ？ 解：1. 年龄换为标准分： Z1 ，Z22. 查表得 Z1 0.50, Z2 0.8413 Z2 - Z1 =0.3413, 所以25岁到30岁之间结婚的人，百分数为34.13%.374.3 标准正态分布表的使用1. 通过标准分公式，将一般为正态分布转换为标 准正态分布； 2. 计算概率时 ，查标准正态分布表； 3. 对于负的 x ，可由 (-x) x得到； 4. 对于标准正态分布，即XN(0,1)，有nP (a X b) b anP (|X| a) 2 a 138常用的标准值Z 1.65,概率P为0.05;Z 1.96,概率P为0.025;Z 2.58,概率P为0.005;39五、大数定理和中心极限定理405.1 极限定理简单讲，凡是采用极限的方法（例如 ，观察次数n趋于无限）所得出的一系列定理 统称极限定理。极限定理分为两类：大数定理（Law of large numbers）中心极限定理 (Central limit theorem) 415.2 大数定理【例子】 从扑克牌盒中取出一张牌，出现牌 “K”的概率是1/13，在取的次数比较少时 ，出现“K”的频率可能与1/13相差得很大 ，但是在取的次数很多时，出现“K”的频 率接近1/13几乎是必然的。 425.2 大数定理这些例子说明，在大量随机现象中，不 仅看到了随机事件频率的稳定性，而且还看 到平均结果的稳定性。这就是概率论中大数 定理的概念。阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理。著名的大数定理：贝努里大数定理和切 贝谢夫大数定理 435.2.1 贝努里大数定理多次重复试验，随机事件的频率日 趋稳定，具有接近概率的趋势。 445.2.2 切贝谢夫大数定理多次重复试验，随机变量的平均值 接近数学期望（即总体均值）。 455.3 中心极限定理任何变量，不管其原有分布如何， 如果把它们n 个加在一起，只要n足够大 ，其和的分布必然接近正态分布，均值 的分布也接近正态分布。 46为什么社会经济 生活、自然界存在 许多随机变量的分 布都服从正态分布 ？请结合中心极限 定理来解释。47如果一个现实的量是由大量独立偶然的因 素的影响叠加而得，且其中每一个偶然因素的 影响又是均匀地微小的话，可以断定这个量将 近似地服从正态分布。这就解释了为什么在自 然、社会、经济领域里大量存在服从正态分布 的随机变量。例如，身高、体重、智商、婚龄 等等，因为影响它们的因素都是大量的。