典型环节的传递函数：任何一个复杂的控制系统都可分解成由几个简 单的环节组成，称为典型环节。 (1) 比例环节 又称放大环节。运算关系：传递函数为：(2) 惯性环节惯性环节的输出响应需要一定的时间才能达到稳态 值，故称为惯性环节,又称非周期环节。其传递函数为：微分方程(3) 积分环节: 符合积分运算关系的环节称为积分环节 。传递函数为：微分方程：(4) 微分环节:符合微分运算关系的环节称为微分环节传递函数为：微分方程：(5) 二阶环节传递函数为：(6) 延迟环节:具有纯时间延迟传递关系的环节称为延迟环节。延迟环节的传递函数为：又称为振荡环节。微分方程运算关系：计算电气网络传递函数的简便方法复阻抗法C CsLsL jL jL L LR RR RR R复阻抗复阻抗交流阻抗交流阻抗元件元件第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域数学模型2-2 控制系统的复数域数学模型2-3 控制系统的结构图与信号流图2-4 控制系统建模实例2-3 系统结构图与信号流图1. 系统结构图的组成和绘制2. 结构图的等效变换和简化3. 信号流图的组成及性质4. 信号流图的绘制5. 梅森增益公式6. 闭环系统的传递函数1. 系统结构图的组成和绘制系统结构图（方块图，方框图）：是由许多对信号 进行单向运算的方框和一些信号流向线组成。将系统中所有的环节用方框来表示，按照系统中各 个环节之间的联系，将各方框连接起来构成的；方框的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出 信号，用箭头表示信号传递的方向，并在方框内标明相 应环节的传递函数。表明了系统的组成、信号的传递方向； 表示出了系统信号传递过程中的数学关系； 可揭示、评价各环节对系统的影响； 易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数； 直观、方便（图解法）。系统结构图包含四个基本单元： （1）信号线：用带箭头的直线表示，箭头表示信号 流 向，直线旁标记表示信号的时间函数或象函数。图(a) u(t), U(s)(a)（2）引出点：表示信号引出或测量的位置。u(t), U(s)u(t), U(s)(b)（3）比较点：表示对二个以上信号进行加加、减运算(c)（4）方框(或环节)：方框表示对信号进行的数学变换 ，方框中写入元件的传递函数。如何绘制结构图：1）考虑负载效应，分别列出系统各元件的微分方程 或传递函数，并将它们用方框表示。2）根据各元部件的信号流向用信号线依次将各方框 连接起来。注意：结构图中方框与实际系统元件并非绝对一一对 应，有时一个实际元件可以用一个方框或几个方框表 示，而一个方框也可以代表几个元件或一个子系统， 或是一个大的复杂系统。例211 试绘制图2-24无源网络的结构图。R1uiuoR2Cii2i1图2-24 RC无源网络解 ：设电路中各变量如图中所示， 应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律 写出以下方程： (a)(b)(c)(d )-1/R1Ui(s)Uo(s)I1(s)R1I1(s)(a)(b)R1I2(s)I1(s)Cs(c)I1(s)I2(s)I(s) R2I(s)Uo(s)(d )Uo(s)-1/R1Ui(s )I1(s)R1I1(s)R1I2(s) CsR2Uo(s)I1(s)(e)-1/R1Ui(s)Uo(s)I1(s)R1I1(s)(a)R2I(s)Uo(s)(b)R1I2(s)I1(s)Cs(c)I1(s)I2(s)I(s) (d )方框图的基本连接，只有串联、并联、反馈连接三种 。2. 结构图的等效变换和简化方框图变换所遵循的原则 ：等效变换前后应保证： 前向通路的传递函数乘积保持不变； 回路中传递函数乘积保持不变。即：结构图经变换后，虽然结构图发生了变化，但输入输出关系不能变。结构图简化的一般方法是： 移动引出点或比较点，交换比较点； 进行方框运算将串联、并联和反馈连接的方框合并 。 方块图表示的三种常见形式由(a)可知：(1) 串联方框的简化（等效）图2-29 方框串联连接及其简化串联连接：方框与方框首尾相连。前一个方框的输出 ，作为后一个方框的输入。由上两式消去U(s)，可得(2-71)式中，是串联联方框的等效传递传递 函数. J 如图所示，n个传递函数依次串联的等效传递函数 ，等于n个传递函数的乘积。J 两个方框串联连接的等效方框，等于各个方框传 递函数之乘积。 (2) 并联方框的简化（等效）并联连接： 两个或多个方框，具有同一个输入，而 以各方框输出的代数和作为总输出。图2-30 方框并联连接及其简化由图(a)可知，由上述三式消去C1(s)和C2(s)，得(2-72)(2-72)可用图图(b)的方框表示。式中，是并联联方框的等效传递传递 函数，J 两个方框并联连接的等效方框，等于各个方框传递 函数的代数和。 J 这个结论可推广到n个并联连接的方框情况。图2-31 方框的反馈连接及其简化(3) 反馈连接方框的简化（等效） 反馈连接： 一个方框的输出，输入到另一个方框，得 到的输出再返回作用于前一个方框的输入端。 由图可知， 消去E(s)和B(s)，得：则有： (2-73)式中，(2-74)称为闭环传递函数，是方框反馈连接的等效传递函数， 式中负号对应正反馈连接，正号对应负反馈连接，式(2- 73)可用图2-31(b)的方框表示。(4) 比较点和引出点的移动注意：(a) 在移动前后必须保持信号的等效性；(b) 比较点和引出点之间一般不宜交换其位置;(c) “-”号可以在信号线上越过方框移动，但不能 越过比较点和引出点。. 比较点前移 比较点前移，比较环节除以被越过环节的传递函 数。比较点的移动法则：比较点移动后应保持原输出信号不变。G(s)R(s )C1(s )C(s) Q(s)(a) 原始结构图G(s)R(s )C(s ) Q(s )(b) 等效结构图G(s)R(s )C1(s )C(s) Q(s)G(s)R(s )C(s ) Q(s )(a) 原始结构图(b) 等效结构图证明： 移动前的结构图中，信号关系为:移动后，信号关系为: 比较点后移比较点后移时，比较环节乘以被越过环节的传递函 数。 G(s) Q(s)C(s)R(s)(a) 原始结构图G(s)G(s)R(s)Q(s)C(s)(b) 等效结构图证明：移动前的结构图中，信号关系为: 移动动后，信号关系为为: 比较点互移 两相邻比较点之间的换位移动，无需作其它变换。 移动前，总输出信号 : 移动后，总输出信号: 引出点的移动法则：比较点移动后应保持引出点引 出线上的信号不变。 引出点前移引出点由传递函数为G(s)的方块之后移至该方块之前 ，如下图所示，需要在引出点引出线上加一个传递函数 为G(s)的方块。G(s)R(s)C(s)C(s)(a) 原始结构图G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)(b) 等效结构图移动后的支路上的信号为: . 引出点后移 (a) 原始结构图(b) 等效结构图移动动后的支路上的信号为为: . 相邻引出点之间的移动若干个引出点相邻，引出点之间相互交换位置，完 全不会改变引出信号的性质。结构图等效变换方法:(a) 三种典型结构可直接用公式;(b) 相邻比较点可互换位置、可合并;(c) 相邻引出点可互换位置、可合并。注意事项：(a)不是典型结构不可直接用公式；(b)引出点比较点相邻，不可互换位置。方块图简化的目的：求出指定输出与输入间的总的传 递函数。步骤：(a) 首先确定输入量、输出量；不一定是控制输 入和系统输出，由传递函数决定；(b) 利用等效变换法则，把几个回路公用部分分开 ，逐步变成三种基本连接方式；(c) 根据三种基本连接方式的等效传递函数，逐 步写出总的传递函数。例2-14 简化图2-32系统结构图，并求系统传递函数 C(s)/R(s).G1G2G3G4H3H2H1解： (1) 将G3与G4两方框之间的引出点后移到G4方框的 输出端（注意：不宜前移）G1G2G3G4H3H2H11/G4G1G2G3G4H3H2H11/G4(2) 将G3,G4和H3组成的内反馈回路简化，其等效传递 函数为：G1G2G34H1H2 /G4(3) 再将G2, G34, H2/G4组成的内反馈回路简化，其等 效传递函数为：G1G2G34H1H2 /G4G1G23H1(4) 最后，将G1, G23和H1组成的反馈回路简化便求得 系统的传递函数为：G1G23H1R(s)C(s)例2-15 简化图2-34系统结构图，并求系统传递函数 C(s)/R(s).解： (1) 按引出点后移规则将G2(s)之前的引出点后移R(s)H1(s)G2(s)G1(s)C(s)R(s)H1(s)G2(s)G1(s)C(s)1/G2(s)(2) 按比较点前移规则将G1(s)后的比较点前移R(s)H1(s)G2(s)G1(s)C(s)1/G2(s)R(s)H1(s)G2(s)G1(s)C(s)1/G2(s)1/G1(s)(3) 按并联等效规则进一步简化R(s)H1(s)G2(s)G1(s)C(s)1/G2(s)1/G1(s)R(s) G2(s)G1(s)C(s)(4) 按反馈等效规则便求得系统的传递函数R(s)G2(s)G1(s)C(s)作业：P67 2-17 (d) (e) (f)2-18 (a)例 简化图所示系统结构图，并求系统传递函数 C(s)/R(s).G1G2G3H1R(s)C(s)