近世代数第二章 群论 2元素的阶 Date元素的指数在群中，由于结结合律成立， 有意义义，据此, 可定义义群的元素的指数: 设设 为为正整数, 则规则规 定:显显然有，其中为为任意整数.Date定义1设设为为群的一个元素，使 的最小正整数叫做元素的阶阶，记记作；若不存在这样这样 的，则则称的阶阶显显然，群中单单位元的阶为阶为 1，其他元的 阶阶为为无限.都大于1， Date例1关于数的普通乘法做成4次单单位根群.Date例2正有理数乘群单单位元的阶阶是1， 其他元的阶阶均为为无限.例3 非零有理数乘群1的阶阶是1， -1的阶阶是2，其余元的阶阶均为为无限.Date定理1 有限群中每个元素的阶阶均有限.，在中必有相等的. 设设则则，从而阶阶有限.证证明：设设 Date注：无限群中元素的阶阶可能无限，也可能有限，其中是次单单位根群关于普通乘法作成无限交换换群，甚至可能都有限.例4，则则其中每个元素的阶阶都有限.Date定理2若群中，则则证证明： 令 ，则则.证证明中，只需证证 .（2）若 Date定理3若群中，则则，其中为为任意的整数.设设，则则证证明： Date两个推论：推论论1 在群中，若,则则，其中s，t 均为为正整数. 推论论2 在群中，若，则则Date定理4 在群中，若，则则当 且时时，证证明： ，于是若 同理，Date例5 |ab|一定等于|a|b|吗？是有理数域Q上的全体二阶满秩 方阵关于矩阵乘法做成的群.Date例5 |ab|一定等于|a|b|吗？是有理数域Q上的全体二阶满秩 方阵关于矩阵乘法做成的群.Date思考题：设G是群，且|G|1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.Date