第2节 随机事件的概率定义 随机事件A发生可能性大小的度量(数值), 称为A发生的概率,记作P(A). 对于一个随机事件(必然事件和不可能事件 除外)来说,它在一次试验中可能发生,也可能不 发生.我们希望知道某些事件在一次试验中发生 的可能性究竟有多大,找到一个合适的数来表示 事件在一次试验中发生的可能性大小.一、概率的定义及性质1. 概率的统计定义( 描述性定义)(1) 频率定义2.1 在一定的条件下,随机事件在n次重复试 验中出现的次数nA,叫做事件A发生的频数.比值 nA/n叫做事件A发生的频率,并记为fn(A)= nA/n.频率具有下述性质:（1）0fn(A)1;（2）fn( )=1;（3）若A1,A2,Ak是两两互不相容的事件,则 历史上抛掷匀质硬币的若干结果试验者抛掷次数 n正面出现次 数m正面出现频 率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998定义2.1 在一定的条件下,随机事件在n次重 复试验中出现的次数nA,叫做事件A发生的频 数.比值nA/n叫做事件A发生的频率,并记为fn(A)= nA/n.频率具有下述性质:（1）0fn(A)1;（2）fn( )=1;（3）若A1,A2,Ak是两两互不相容的事件,则 (2) 概率的统计定义定义2.2 在一定的条件下,进行了n次重复 试验,在这n次试验中,事件A发生了nA次,当 试验的次数n很大时,如果事件A发生的频率 fn(A)=nA/n稳定在某个常数p的附近摆动,而且随着试验 次数的增大,这种摆动的幅度越变越小,则称 数值p为事件A在一定条件下发生的概率,记 作P(A)=p.这样定义的概率称为统计概率.注意(1) 常数p是与试验次数n无关的.它是事件A的 固有属性,而不随人的意志和试验操作发生变化.常 数p是一种理论值,可以在一定的理论下推算出来.(2) 随着试验次数n的增加, 频数nA将逐步增大 lim nA=, 频率nA/n是实际操作的结果, 是试验值, 不同的人,不同的时期,得到的 结果可能不同. 频率 nA/n作为一个数列, lim nA/n 并不一定收敛于p, 而 只是在p的附近摆动.2. 概率的公理化定义定义2.3 设E为随机试验,是它的样本空间，如果 对E的每一个事件A，都存在实数P(A)与之对应,并 满足如下三条公理：(1) 非负性公理：对每一事件A,有0P(A) 1 ;(2) 规范性公理：P()=1;(3) 可列可加性公理: 设A1,A2,是互不相容的 事件, 即对于ij,AiAj=,i,j=1,2,则有则称集合函数 P(A) 为事件A的概率(Probability).柯尔莫哥洛夫,1933年前苏联著名数学家现代概率论开创者性质1. P()=0.概率的性质于是由可列可加性得又由P()0得, P()=0证明:设An=(n=1,2,),则,且对于证明 令An+1=An+2=,则由可列可加性 及P()=0得 性质2.即性质3. 对于任一事件A,有证明 由A B知B=A(B-A),且A(B-A)=,性质4 设A,B是两个事件,若A B,则有 P(B-A)=P(B)-P(A) 推论 若A B，则P(B)P(A)证明 由P(B)=P(A)+P(B-A)和P(B-A)0 知P(B)P(A)因此由概率的有限可加性得P(B)=P(A)+P(B-A)从而有 P(B-A)=P(B)-P(A)证明 因为A-B=A-AB,且AB A推论 对于任意两事件A,B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)故 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)性质5 对于任意两事件A,B，有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 上式称为概率的加法公式.证明 因为AB=A(B-AB),且A(B-AB)=,AB B 故 P(A B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)概率的加法公式可推广到多个事件的情况. 设 A,B,C是任意三个事件，则有 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)一般, 对于任意n个事件A1,A2,An,有解 (1) 由于A与B互不相容，即AB=, 则 所以 (2)则有 (3) 则有 例1 具有以上两个特点的随机试验称为古典概型, 也称为等可能概型.在概率论发展的初期主要研究具有如下两个 特点的随机试验:(1)试验的样本空间的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.二、古典概型1.古典概型的定义 定义2.4 若一试验(概型)满足下列两个特征:(1)试验的样本空间中的基本事件的总数是有 限的,即(2) 每个基本事件的出现是等可能的,即则称此试验为等可能概型或古典概型.2.古典概率的计算公式设随机试验的样本空间为 又由于基本事件是两两不相容的,于是有所以由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有古典概率的定义 设古典概型的样本空间中基本事件的总数为 n, 事件A中包含的基本事件的个数为nA,则事件 A发生的概率为 古典概型中的事件A的概率P(A)就是A包含的 样本数nA与样本空间中的样本点数n的比值.称此为古典概率公式即样本空间有4个样本点,而随机事件A1包含2个样 本点,随机事件A2包含3个样本点,故P(A1)=2/4=1/2P(A2)=3/4例4 将一枚硬币抛掷二次,设事件A1为“恰有一次 出现正面”; 事件A2为“至少有一次出现正面”. 求P(A1)和P(A2).解 正面记为H,反面记为T,则随机试验的样本空 间为 =HH,HT,TH,TT而 A1=HT,THA2=HH,HT,TH例5 抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出 现的点数是不小于3的偶数的概率.解 设A表示出现的点数是大小于3的偶数，则基 本事件总数n=6，A包含的基本事件是“出现4点” 和“出现6点”即m=2，即故故 故 解 设A=没有相同数字的三位数，B表示没有相同 数字的三位偶数，则基本事件总数n=566=180(1) 事件A包含的基本事件数为mA=554(2) 事件B包含的基本事件数为mB=442+54=52所以所以例8 设有同类产品6件,其中有4件合格品,2件不合 格品.从6件产品中任意抽取2件,求抽得合格品和不 合格品各一件的概率. 解 设A=抽得合格品和不合格品各一件.因为基 本事件总数等于从6件可以区别的产品中任取2件的 组合数目,故有基本事件总数且每一基本事件发生是等可能的.事件A发生是指从4件合格品和2件不合格品中 各抽出一件,抽取方法数,即使事件A发生的基本事 件数为所以事件A发生的概率为解法1 把a只黑球b只白球视为可分辨的.把a+b只球 摸出来依次排在一直线的a+b个位置上,则可能的排 列法相当于把a+b个元素进行全排列,即基本事件总 数为n=(a+b)!.而有利于事件Ak的场合相当于在第k 个位置上放一个黑球(共有a种选择),而在其余的 a+b-1个位置上,由其余的a+b-1个球任意排列,共有 m=a(a+b-1)!种排法.所以例9 袋中有a只黑球,b只白球.它们除了颜色不同 外,其它方面全同.现在随机地把球一只只摸出来, 求第k次摸出的一只是黑球(事件Ak)的概率.这两种不同的解法,主要在于选取的样本空间不同, 而最后的答案是相同的.例10 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任 抽2个球，求取到一红一白的概率。答: 取到一红一白的概率为0.6。解解 设设A=A=取到一红一白取到一红一白, , 则则一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，从 中任抽n个球，则这n个球中恰有k白球的概率是例11 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？解 设A=每盒恰有一球, B=空一盒.N = 33, K = 3! , P(A) = 2/9 .P(B) = 1P空两合P全有球 = 13/332/9 = 2/3. 一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm), 则每盒至多有一球的概率是：思考题 某班级有n 个人(n365)，问至少有两个 人的生日在同一天的概率有多大？例12 30名学生中有3名运动员，将这30名学生 平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解 设A=每组有一名; B= 3名集中在一组一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：1.有放回抽样:第一次取一件产品观察其是否合格 后放回袋中,第二次再取一件产品. 2.不放回抽样: 第一次取一件产品后不放回袋中, 第二次再取一件产品.试由上面两种抽样方法,求: 1.取到两件合格品的概率; 2.取到两件相同质量产品的概率; 3.取到的两件产品中至少有一件合格品的概率.例13 一只口袋中,装有10件同类晶体管,其中有8件 合格品,2件次品.从口袋中取产品2次,每次取一件, 考虑两种情况:解 设A=取到两件合格品,B=取到两件次品,C=取到两件 相同质量的产品,D=取到的两件产品中至少有一件合格品(1)有放回抽样:第一次从10件产品中抽1件有10种抽取方 法,第二次从10件产品中抽1件也有10种抽取方法,故有 1010种可能的取法.每一种取法是一基本事件,且发生的 可能性是相同的.所以基本事件总数为n=1010=100.使A发生的基本事件是第一次抽到合格品,且第二次也抽 到合格品,共有mA=88=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100同理B包含的基本事件数mB=22=4.所以 P(B)= mB /n=4/100由于C=A+B,且AB=,所以 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.64+0.04=0.68P(D)=1-P(B)=1-0.04=0.96(2)不放回抽样: 第一次从10件产品中抽1件有10种抽取 方法,第二次从9件产品中抽1件有9种抽取方法,故有 109种可能的取法.所以样本空间的基本事件总数为 n=109=90.两次均抽到合格品共有mA=87=56种取法,即A包含的基本 事件数为56.于是 P(A)=56/90同理B包含的基本事件数mB=21=2.所以 P(B)=2/90由于C=AB,且AB=,所以 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=0.622+0.022=0.644P(D)=1-P(B)=1-0.022=0.978解 设A=指定的n个盒子各有一球,B=恰有n个盒子各有一球. 由于每个球都可以放入N个盒子中的任一个,共有N种不同 的放法.于是n个球放进盒子就有Nn种不同的放法.而每一 放法就是一个基本事件,且发生的可能性是相同的.所以基 本事件总数为Nn个例14 将n个球随机地放入N(Nn)个盒子中去,每个球都能以 同样的概率1/N落入N个盒子中的每一个,试求: 1.指定的n个盒子各有一球的概率; 2.恰有n个盒子各有一球的概率.指定的n个盒子各有一球,共有n(n-1)(n-2)1=n!种可能 的放法,于是 P(A)=n!/Nn恰有n个盒子各有一球,共有可能的放法,于是有许多问题和本例具有相同的数学模型.如历史 上有名的“生日问题”:假设每个人的生日在一 年365天中的任一天是等可能的,那么随机选取 n(n365)个人,令A=n个人中至少有两个人的生 日相同,则Ac= n个人的生日全不相同.而